专题07 椭圆重难点综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题07椭圆重难点综合专练（解析版） 一、单选题 1．已知定圆：，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【标准答案】C 【思路点拨】 首先分四种情况，点在圆内，圆上，圆外，以及点与点重合，四种情况讨论点的轨迹. 【精准解析】 当点在在圆内，∵，，则点的轨迹是以､为焦点的椭圆， 当点在圆上时，由于，线段的中垂线交直线于，点的轨迹为一个点； 点在圆外时，，∵，则点的轨迹是以､为焦点的双曲线； 当点与重合时，为半径的中点，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其中正确的命题序号为①②④⑥.共4个. 故选：C. 【名师指导】 关键点点睛：动点轨迹问题的关键是情况分类需全面，否则容易少选. 2．（2021·上海市南洋模范中学高二开学考试）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，有下列直线①；②；③；④，其中满足与的面积相等的直线可以是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【标准答案】B 【思路点拨】 根据椭圆的轴对称性和中心对称性的性质，将直线进行平移和旋转使之到原点的距离不变，则由对称性可得对应弦长相等，从而可得面积相等，得出答案. 【精准解析】 原点到直线的距离为 将直线直线向右平移到的位置（如图1），使得原点到直线的距离为1. 设，由，解得 此时，由椭圆的对称性可得直线截椭圆的弦满足 所以此时与的面积相等，所以③正确. 选项②中，原点到直线的距离为 又直线与直线关于直线对称 而椭圆不关于直线对称，则两直线截椭圆的弦长不等. 所以与的面积不相等，所以②不正确. 将直线绕原点旋转，作出直线关于原点对称的直线（如图2） 此时直线 由对称性可知原点到直线的距离为1. 根据直线和关于原点对称，椭圆也关于原点对称，所以直线截椭圆的弦满足. 所以此时与的面积相等，所以①正确. 将直线向左平移，使得原点到直线的距离为1. 同理可得此时直线的方程为： 由椭圆的对称性可得与的面积相等，所以④满足 故选：B 【名师指导】 关键点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的对称性的应用，解答本题的关键是根据椭圆的对称性将直线进行平移和旋转使得到原点的距离不变和截椭圆的弦长不变着手思考，得出答案，属于中档题. 3．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【标准答案】B 【思路点拨】 设，利用可得关于的方程，再结合该点在椭圆上可得，利用可求离心率的范围. 【精准解析】 由椭圆方程可得， 设，则， 因为，故，故， 又，故，整理得到：， 因为当时，，故方程有一个解为. 所以此方程的另一个解为，故的横坐标为， 所以，即即，所以， 故选：B. 【名师指导】 方法点睛：椭圆离心率的范围计算，一般利用题设条件构建关于的不等式关系，构建时常依据坐标的范围、几何量的范围等. 4．设、是椭圆上相异的两点.设、. 命题甲：若，则与关于轴对称； 命题乙：若，则与关于轴对称. 关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题 【标准答案】A 【思路点拨】 设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假. 【精准解析】 设点、，则，可得，. 对于命题甲：， 同理可得， ，则，整理得， ，，所以，，则，必有， 所以，则与关于轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A. 【名师指导】 本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 5．已知椭圆，抛物线焦点均在x轴上，的中心和顶点均在原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为 3 -2 4 0 -4 A． B． C．1 D．2 【标准答案】B 【思路点拨】 由题意可知,椭圆和抛物线的方程都是标准方程,由表格中的数据验证可知点和点在抛物线上, 两个点在椭圆上,由此可求得抛物线和椭圆的方程,再求得抛物线的准线和椭圆的左焦点坐标,从而可得答案. 【精准解析】 由表格中的