专题06 圆与方程综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题06圆与方程综合专练（解析版） 一、单选题 1．（2020-2021年上海·复旦附中高二期中）已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足，则直线与圆的位置关系为（ ）. A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【标准答案】A 【思路点拨】 将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案. 【精准解析】 由得， ， 因为，， 所以， 所以圆心到直线的距离，故相切， 故选：A. 【名师指导】 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答. 2．（2020-2021年上海中学高二期中）已知，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】C 【思路点拨】 集合可化为，再结合集合，的几何意义及，即可求出的取值范围. 【精准解析】 ， 集合表示的图形是以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以， 集合表示的图形是以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以圆内含或内切于圆，所以， 即，解得或(舍去)，所以实数的取值范围是. 故选：C 【名师指导】 关键点点睛：本题主要考查利用集合间的包含关系，求参数取值范围，关键是理解集合中的不等式所表示的几何意义. 3．（2020-2021年上海市杨浦高级中学高二期中）如图一所示，在平面内，点为圆O的直径的延长线上一点，，过动点作圆的切线，满足，则的面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【标准答案】B 【思路点拨】 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点的轨迹方程，可得点到距离的最大值，由此能求出的面积的最大值. 【精准解析】 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 因为，所以，设 因为过动点作圆的切线，满足， 所以， 整理得：， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以当点在直线上时，此时点到距离最大，的面积的最大， 所的面积最大为， 故选：B 【名师指导】 关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设，利用 ，即可求出点的轨迹方程，可得点到距离的最大值，即为三角形高最大，从而的面积最大. 4．（2020-2021年上海中学高二期中）如图，在正方形中，为的中点，是以为直径的半圆弧上任意一点，设，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【标准答案】B 【思路点拨】 建立平面直角坐标系，设，利用坐标法将用点坐标表示，即可求出的最小值. 【精准解析】 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，则，，，半圆的方程为， 所以，，， 因为，即， 所以，即， 所以，又是半圆上的任意一点， 所以，，， 所以，所以当时，取得最小值. 故选：B 【名师指导】 关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 5．已知点是曲线上的动点，且有解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】B 【思路点拨】 通过题意将问题转化为“圆上存在着点在直线上或其上方”，结合图示，通过计算相切时的取值，由此确定出的取值范围. 【精准解析】 因为曲线表示圆心在，半径等于的圆， 所以若有解，则圆上存在着点在直线上或其上方， 如图所示： 当直线与圆相切时，，所以， 又因为的纵截距为， 当直线与圆在靠上方位置相切时，此时， 当直线与圆在靠下方位置相切时，此时， 所以由图可知，若要满足题意只需：，即， 故选：B. 【名师指导】 关键点点睛：解答本题的关键在于对问题的转化，将抽象的方程问题转化为直观的图象问题，很大程度上能简化计算，同时对于临界位置“相切”的把握也是一个重点. 6．（2021·上海市实验学校高二期末）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【标准答案】D 【思路点拨】 根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率. 【精准解析】 根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点， 设反射光线所在直线的斜率为，