专题03 直线的交点坐标与距离公式综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题03直线的交点坐标与距离公式综合专练（解析版） 一、单选题 1．（2020-2021年上海·高二课时练习）已知的面积为，且两个顶点是，则点的轨迹方程是（ ）. A． B． C．或 D．或 【标准答案】D 【思路点拨】 由三角形面积可知，到直线的距离为，设点，由点到直线的距离公式，即可得出答案. 【精准解析】 ，由的面积为，可知到直线的距离为 直线的方程为，即 设点，则 解得或 故选：D 【名师指导】 本题主要考查了求动点的轨迹方程以及点到直线距离公式的应用，属于中档题. 2．（上海市南洋模范中学高二阶段测）平面直角坐标系中，矩形，、、，将矩形折叠，使O点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【标准答案】D 【思路点拨】 分析题意，画出图形，要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点，作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，由图可知，直线的斜率大于等于的斜率，根据点O和点的坐标可求出直线的斜率，进而得到直线的斜率的取值范围；再根据直线和直线垂直，结合两直线垂直，斜率之积为，即可得到直线的斜率的取值范围，注意分析折叠后与重合情况. 【精准解析】 解：如图， 要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点， 作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合， 因为， 所以，且. 又当折叠后与重合时，， 所以 的取值范围是， 故选：D 【名师指导】 本题考查了点关于线段对称问题，考查直线间的垂直关系的应用，考查直线的图像的特征，本题属于中档题. 3．（2020-2021年上海交大附中高二开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ） A． B．6 C． D． 【标准答案】C 【思路点拨】 直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果. 【精准解析】 直线AB的方程为：，如图所示， 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，如图， 则，且中点在直线上， 即联立解得，即， 所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为： ． 故选：C. 【名师指导】 本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 4．（2020-2021年上海·华师大二附中高二阶段测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B．5 C． D． 【标准答案】A 【思路点拨】 根据题意，求得点关于直线的对称点为，结合两点间的距离公式，求得长，即可求解. 【精准解析】 如图所示，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即 则，即“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A. 【名师指导】 本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化，求得点关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 5．（2020-2021年上海市建平中学高二期中）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题： ①对任意三点、、，都有； ②已知点和直线，则； ③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4； 其中真命题的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【标准答案】B 【思路点拨】 由新定义表示出三点两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①， 由新定义计算出，判断②， 根据新定义求出的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【精准解析】 ①设，则， ， 显然，同理， ∴，①正确； ②设是直线上任一点，则， ，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错； ③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错． 故选：B． 【名师指导】 关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的