3.2.1 双曲线及其标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.2.1　 双曲线及其标准方程 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解双曲线的定义.(数学抽象) 2.掌握双曲线的几何图形与标准方程.(直观想象) 3.会求双曲线的标准方程.(数学运算) 授课提示：对应学生用书第67页 [问题导学] 1.取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 2.怎样推导双曲线的标准方程？　　　 [知识梳理] 知识点一　双曲线的定义 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 焦点 两个定点叫做双曲线的焦点 焦距 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|} 微练习 1.平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A.－＝1(x≤－4)　　 B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16， ∴所求轨迹方程为－＝1(x≥3). 答案：D 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 微练习 2.已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________. 解析：∵a＝5，c＝7，∴b＝＝＝2， 当焦点在x轴上时，双曲线方程为－＝1； 当焦点在y轴上时，双曲线方程为－＝1. 答案：－＝1或－＝1 授课提示：对应学生用书第67页 题型一　求双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上. [解析]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16). ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上，∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))； (3)定值：根据题目的条件确定相关系数的方程，解出系数，代入所设方程. [跟踪训练] 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点M(1,1)，N(－2,5)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上. 解析：(1)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0). ∵双曲线过点M(1,1)，N(－2,5)， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). 则有解得 求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二：∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6). ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 题型二　双曲线标准方程的识别 [例2]　给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. [解析]　(1)将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞). (2)将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4). 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0