3.1.1 椭圆及其标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.1.1　 椭圆及其标准方程 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学建模) 2.掌握椭圆的定义和标准方程.(数学抽象) 3.会求椭圆的标准方程.(数学运算) 授课提示：对应学生用书第58页 [问题导学] 1.给你两个图钉，一条无弹性定长的细绳，一张图板，一支铅笔，怎样画出椭圆？ 2.根据椭圆的形状，我们怎样建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单呢？你能推导出椭圆的标准方程吗？　　　 [知识梳理] 知识点一　椭圆的定义 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 焦点 两个定点叫做椭圆的焦点 焦距 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 集合语言 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|} 微练习 1.下列说法中，正确的是(　　) A.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 解析：由椭圆的定义知C正确. 答案：C 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a、b、c的关系 c2＝a2－b2 微练习 2.若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________________. 解析：因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6， 所以c2＝10－6＝4，c＝2，故焦点坐标为(2,0)和(－2，0). 答案：x　(2,0)和(－2,0) 3.已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________________. 解析：由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 授课提示：对应学生用书第59页 题型一　求椭圆的标准方程 [例1]　根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A(，－2)和点B(－2，1). [解析]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 因为2a＝＋＝10，所以a＝5. 又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以解得 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意有解得 因为不满足a>b>0，所以无解. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤： (1)定位，确定焦点在哪个轴上； (2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a、b、c的值； (3)写出标准方程. 2.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n).再根据条件确定m、n的值. 3.当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B).将点的坐标代入解方程组求得系数. [跟踪训练] 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点(2,0)和(0,1)的椭圆的标准方程； (2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)； (3)经过两点(2，－)，. 解析：(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴∴ 综上可知，所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)法一：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由椭圆的定义知2a＝＋＝12，所以a＝6. 又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：若椭