第3章 章末复习 圆锥曲线的方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

　　　　　　　　　　　　　　圆锥曲线的方程 授课提示：对应学生用书第80页 授课提示：对应学生用书第81页 专题一　圆锥曲线的定义及应用 [例1]　(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A.抛物线　　　　　 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.椭圆 (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________. [解析]　(1)x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则⇒|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示， 则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1. [答案]　(1)C　(2)＋＝1 “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程. 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决. 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. [跟踪训练] 1.(1)椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(　　) A.28 B.24 C.22 D.20 (2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，则|PM|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________. 解析：(1)|PF1|＋|PF2|＝14，(|PF1|＋|PF2|)2＝196， |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，相减得2|PF1|·|PF2|＝96. S＝|PF1|·|PF2|＝24. (2)抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是. 答案：(1)B　(2)4　 专题二　求圆锥曲线方程 [例2]　(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________. [解析]　(1)由题意得解得 则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1. (2)由题意得解得则b2＝c2－a2＝3， 因此双曲线方程为x2－＝1. [答案]　(1)D　(2)x2－＝1 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. [跟踪训练] 2.已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，求双曲线的方程. 解析：法一：椭圆x2＋4y2＝64，即＋＝1，其焦点是(±4，0). 设双曲线方程为 － ＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x. 又∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，∴＝， 又由a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12. ∴所求双曲线方程为－＝1. 法二：由双曲线与椭圆共焦点， 可设双曲线方程为－＝1(16<λ<64). ∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0， 即y＝，∴＝，∴λ＝28， 故所求双曲线方程为－＝1. 专题三　圆锥曲线的性质及应用 [例3]　(1)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的