3.3.2 抛物线的简单几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解抛物线的简单几何性质.(数学抽象) 2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.(数学运算) 3.掌握直线与抛物线的位置关系，并会用方程思想解决此类问题.(数学运算) 授课提示：对应学生用书第77页 [问题导学] 1.抛物线有哪些几何性质？ 2.如何求过焦点的弦的弦长？　　　 [知识梳理] 知识点一　抛物线的几何性质 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径[其中P (x0，y0)] |PF|＝x0＋ ,|PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 微思考 　抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同？ 提示：抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点，一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线. 知识点二　过焦点的弦长公式 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p. 微练习 　过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　) A.10　　　　　　　 B.8 C.6 D.4 解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案：B 授课提示：对应学生用书第77页 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 [例1]　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程. [解析]　如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2. 由对称性知y2＝－y1，∴y1＝. 将y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1， ∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上. ∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论. [跟踪训练] 1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解析：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3， ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3或x＝3. 题型二　抛物线几何性质的应用 [例2]　已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|.若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. [解析]　(1)抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，直线x＝－2，x轴，[0，＋∞). (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为点M. 因为焦点F是△OAB的重心，所以|OF|＝|OM|. 因为F(2,0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0). 故设A(3，m)(m>0)， 代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2(舍去). 所以A(3,2)，B(3，－2)，|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题. [跟踪训练] 2.已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，坐标原点O为抛物线的顶点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 解析：由题意，设抛物线