3.2.2 双曲线的简单几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.(数学抽象) 2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.(数学运算) 授课提示：对应学生用书第70页 [问题导学] 1.类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？ 2.只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？ 3.椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 4.实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？　　　 [知识梳理] 知识点一　双曲线的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴_　对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x　　 y＝±x 微练习 1.已知双曲线的方程为9x2－y2＝81，求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 解析：将9x2－y2＝81变形为－＝1， 由此可得a＝3，b＝9，∴c＝3. ∵y2≥0，∴≥1，即x≥3或x≤－3. ∴双曲线的范围为y∈R，x≥3或x≤－3； 实轴长为2a＝6；虚轴长为2b＝18； 顶点坐标为(±3,0)；焦点坐标为(±3，0)； 离心率e＝＝＝；渐近线方程为y＝±3x. 知识点二　等轴双曲线 (1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为_x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝. 微练习 2.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　) A.y＝±x　　　　　　　 B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 解析：由题意知－＝1，y＝±x. 答案：A 授课提示：对应学生用书第71页 题型一　利用几何性质求双曲线的标准方程 [例1]　求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)； (2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. [解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). ∵双曲线过点P(，2)，∴－＝1. 由题意得解得 故所求双曲线方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为－＝1. (3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线方程为－＝1或－＝1. 巧设双曲线方程的六种方法与技巧 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0). (3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2). (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0). (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). [跟踪训练] 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)； (2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等. 解析：(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0). 由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－