专题13 圆锥曲线的最值-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题13 圆锥曲线的最值 【方法点拨】 综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题. 【典型题示例】 例1 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】直接设点P的坐标，转化为的二次函数即可解决. 【解析】设点P的坐标 则 当且仅当，即当点P的坐标时，取得最小值为. 例2 已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ）. A. B. C.4 D.6 【答案】C 【分析】因为，故，再使用定义将转化为到准线的距离，设出点坐标，使用基本不等式求解. 【解析】因为，故 设，则 所以 设，则 当且仅当，等号成立 所以的最小值是4. 例3 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案 【解析】设点，则，得， 圆的圆心，半径为， 则， 令，对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以最小值为， 所以的最小值为， 故选：D. 例4 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，的内切圆半径为 A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系．设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知从而当最小，即AP与抛物线相切时，的值最小．求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积． 【解析】抛物线的准线方程为． 设P到准线的距离为，则． ． 当PA与抛物线相切时，最小，即取得最小值． 设过A点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得， ，解得． 即，解得，把代入得． 或． ． 所以，设的内切圆半径为r 所以，所以． 故选A．   例5 已知A、B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】本题的关键是将所求转化为一个向量，这里设=（想一想，这里为什么将系数确定为4，而非其它数？其主要目的在于利用三点共线，使点在线段上，这是遇到两向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁为简、合二为一），从而由化简得，进一步可求得故E点的轨迹为圆，最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解． 【解析】设=，则=，取AB中点为D，再取