专题12 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题12 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比 【方法点拨】 1. 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. 2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）. 说明： （1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可. （2）双曲线也有类似结论. F x A B O 【典型题示例】 例1 已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为 如图，过作于，则，① 设的倾斜角为， 则，② 联立①②，可得，同理可得， ． 令，，， ． ． 当且仅当，即时上式取等号． 的最小值为． 故答案为：． 例2 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为 A．4 B． C． D．2 【答案】D 【解析】，， ． 例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若＝3，则k＝________. 【答案】 【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、B x D F B BB A y O B/ A/ 分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足 设BF=t ，AF=3t 则， 中， 故 又k>0，所以. 【巩固训练】 1. 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的离心率为________． 2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ＝2，则C的离心率为________． 3. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ． 4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 5.设为