专题11 抛物线过焦点的弦-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题11 抛物线过焦点的弦 【方法点拨】 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) . (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)＋＝. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切． 【典型题示例】 例1 已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于，，，四点，则的最小值为 . 【答案】13 【分析】易知，圆心即为焦点，故，再利用抛物线的定义，进一步转化为，利用、基本不等式即可. 【解析】易知，圆心即为焦点 所以 根据抛物线的定义， 所以 又 所以，当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程是 所以的最小值为13. 例2 已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（－1，－1）满足·＝0，则｜AB｜＝ （ ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】将·＝0直接代入坐标形式，列出关于A，B中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A，B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，·＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p=2 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，y1y2=－4，， ∵·＝0 ∴，化简得 设A、B中点坐标为（x0，y0），则 ① 又由直线的斜率公式得， ∴，即 ② 由①、②解得 ∴，答案选C. 点评： 本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁. 例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A.4 B. C.5 D.6 【答案】B 【解析】　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E， 设|BF|＝m，直线