专题10 与圆锥曲线相关的线段和（差）的最值-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 与圆锥曲线相关的线段和（差）的最值 【方法点拨】 1. 动点P到两个定点A、B距离之和的最小值为|AB|，当且仅当P、A、B三点共线时成立，即|PA|+|PB|≥|AB|； 2. －|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|. 【典型题示例】 例1 已知双曲线的右焦点为，P为双曲线左支上一点，点，则△APF周长的最小值为( ) 【答案】B 【分析】利用定义转化为（其中为双曲线的左焦点），再利用，当且仅当三点共线成立. 【解析】，△APF的周长为 设为双曲线的左焦点，则由双曲线定义得，故 又，当且仅当三点共线成立 所以，故△APF周长的最小值为. 例2 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】逆用“啊圆”，将中系数2去掉化为“一条线段”， 从而将化为两条线段的和，再利用“三点共线”求解. 【解析】因为啊圆的圆心、两定点共线，且在该直线上的直径的端点分别是两定点构成线段分成定比的内外分点 所以另一定点必在x轴上，且内分该点与连结的线段的比为2 故该点的坐标为 设，则圆上任意一动点M都满足 所以 又因为，当且仅当共线时，等号成立 所以的最小值为. 点评： 1. 已知两定点、啊圆的圆心三点共线； 2. 啊圆的在已知两定点所在直线上的直径的两端点，分别是两定点构成线段分成定比的内、外分点. 例3 过抛物线的焦点F的直线l于C交于A，B两点，则|AF|+4|BF|取得最小值时，|AB|=( ) 【答案】A 【分析】将|AF|+4|BF|利用定义转化为到准线的距离，,抓住为定值，运用基本不等式解决. 【解析】设， 则由抛物线定义得， 故， 又因为 根据基本不等式有，当且仅当，即时，等号成立 故. 例4 已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题的关键点有二，一是利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，这也是遇到抛物线上的点到焦点的距离、到准线的