常用逻辑用语 复习导航-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1复习专号（北师大版）

书 复习导言 本章主要包括命题及其关系、基本逻辑联结词、充 分条件和必要条件、量词等内容．重点是命题、基本逻 辑联结词“或”“且”“非”、充分条件和必要条件之间的 逻辑关系，难点是对一些代数命题真假的判断和对全 称命题与特称命题的否定．高考对常用逻辑用语的考 查主要有两个方面：一是直接进行考查，主要是对四种 形式的命题和充要条件的考查；二是将逻辑知识作为 工具来考查． 要点扫描 例１已知命题“若ａｂ＞０，则ａ，ｂ都大于０”，写出 它的否命题． 错解：命题“若ａｂ＞０，则ａ，ｂ都大于０”的否命题 为“若ａｂ＞０，则ａ，ｂ都小于等于０”． 剖析：根据两个命题互为否命题的定义，可知这两 个命题的条件和结论互为否定，也就是说原命题的否 命题，既要否定原命题的条件，也要否定原命题的结 论；又因为“都是”的否定词语应该是“不都是”而不是 “都不是”，故原命题的否命题为“若 ａｂ≤０，则 ａ，ｂ不 都大于０”． 点评：明确“否命题”、“逆命题”和“逆否命题”与 “原命题”条件与结论之间的对应关系，是根据原命题 正确求其余三种命题的关键． 例２已知命题：当ｍ＞０时，如果（ｍ－３）（ｍ＋４） ＞０，那么ｍ＞３．写出它的逆否命题，并判定真假． 错解：原命题的逆否命题是“当 ｍ≤０时，如果 ｍ ≤３，那么（ｍ－３）（ｍ＋４）≤０”，因为当ｍ＝－５时，原 命题不成立，因此它是一个假命题． 剖析：由于原命题是一个真命题，根据原命题与逆 否命题是等价命题，可得其逆否命题也为真命题，可以 断定所求的逆否命题错误，因为原命题的条件为“（ｍ －３）（ｍ＋４）＞０”，结论为“ｍ＞３”，而“ｍ＞０”是该 命题的一个大前提，不能把它放在条件中，所以原命题 的逆否命题为“当 ｍ ＞０时，如果 ｍ≤ ３，那么 （ｍ－３）（ｍ＋４）≤０，”很容易判断该命题为真命题． 点评：分清一个命题的条件与结论，是正确解决有 关问题的首要条件． 例３下列条件是“ｘ＜３”的必要不充分条件的是 （　　） （Ａ）ｘ≥３　　　　　（Ｂ）ｘ＜４ （Ｃ）ｘ＜１ （Ｄ）０＜ｘ＜４ 错解：因为“若ｘ＜１，则ｘ＜３”为真命题， 因此“ｘ＜３”的必要不充分条件是“ｘ＜１”， 故选（Ｃ）． 剖析：根据题意可知，选项中的四个论断应为条 件，“ｘ＜３”应为结论，由充分条件与必要条件的定义 可知若ｐｑ成立，则ｐ为ｑ的充分条件，ｑ为ｐ的必要条 件，因为“ｘ＜１”“ｘ＜３”， 所以“ｘ＜１”是“ｘ＜３”的充分条件，而不是必要 条件，而由“ｘ＜３”可得 “ｘ＜４”，故选（Ｂ）． 点评：解答充分条件、必要条件和充要条件问题 时，首先要分清楚条件和结论各是什么，再进行推理和 判断． 例４“ｍ＝ １２”是“直线（ｍ＋２）ｘ＋３ｍｙ＋１＝０ 与直线（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）ｙ－３＝０相互垂直”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 错解：因为ｍ＝ １２， 所以ｋ１ ＝－ ｍ＋２ ３ｍ ＝－ ５ ３，ｋ２ ＝－ ｍ－２ ｍ＋２＝ ３ ５， 所以ｋ１ｋ２ ＝－１，所以两直线垂直； 又因为直线（ｍ＋２）ｘ＋３ｍｙ＋１＝０与直线（ｍ－ ２）ｘ＋（ｍ＋２）ｙ－３＝０相互垂直，所以ｋ１ｋ２ ＝－１， 所以 －ｍ＋２３( )ｍ －ｍ－２ｍ＋( )２ ＝－１， 解得ｍ＝ １２，故选（Ｃ）． 剖析：若两直线斜率存在时，两直线垂直的充要条 件为ｋ１ｋ２ ＝－１；若一直线斜率不存在时，与它垂直的 另一条直线斜率为０．由于已知两直线斜率不一定存 在，因此如果利用斜率判断两直线的位置关系，需要分 情况讨论．解决此类问题时，如能采用直线的方向向量 解决，则可以避免分类讨论，由题意可得（ｍ＋２） （ｍ－２）＋３ｍ（ｍ＋２）＝０，解得ｍ＝－２或ｍ＝１２， 故为充分不必要条件，选（Ａ）． 点评：解决充分条件、必要条件有关问题时，在问 题转化过程中要做到步步可逆，避免由于思维不严谨 而出错． 题型解析 考点一：四种命题的关系 例１原命题为“若 ａｎ＋ａｎ＋１ ２ ＜ａｎ，ｎ∈Ｎ＋，则｛ａｎ｝ 为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性 的判断依次如下，正确的是 （　　） （Ａ）真，真，真 （Ｂ）假，假，真 （Ｃ）真，真，假 （Ｄ）假，假，假 解析：原命题正确，所以逆否命题正确．逆命题也 正确，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆 命题和否命题正确．故选（Ａ）． 点评：本题主要考查四种命题之间的关系，属于简 单题．解答四种命题的表述问题，识别命题的条件 ｐ与 结论ｑ的构成是关键． 例２设ｍ∈Ｒ，命题“若ｍ＞０，则方程ｘ２＋ｘ－ｍ ＝０有实根”的逆否命题是 （　　） （Ａ）若方程ｘ２＋ｘ－ｍ＝０有实根，则ｍ＞０ （Ｂ）若方程ｘ２＋ｘ－ｍ＝０有实根，则ｍ≤０ （Ｃ）若方程ｘ２＋ｘ－ｍ＝０没