专题11 圆-备战2022年中考数学母题题源解密（河南专用）

专题11 圆 考向1 圆的性质 【母题来源】2021年河南中考数学卷 【母题题文如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为__________． 【答案】 【试题解析】 【分析】 先找到 的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】 解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O， 从图中可得： 的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=2 22.5°=45°， 的长为 ． ． 故答案为： 【点睛】 本题考查了弧长公式，找到 的圆心是解题的关键． 【命题意图】圆的性质经常用的有弦、弧、圆心角和圆周角的性质。如果计算的话会有求弧长、阴影面积、线段长度和角度。经常以选择题和填空题的形式考查。 【命题方向】有关圆的性质中考，角度、阴影面积是热点。一般题型难度为中等，一定要把有关圆的性质记牢，还有常见的辅助线。 【得分要点】 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 4.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 5.同弧或等弧所对的圆周角相等。 6.圆内接四边形的对角互补。 考向2 圆的计算和证明 【母题来源】2021年河南中考数学卷 【母题题文】在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ， 的连接点 在 上，当点 在 上转动时，带动点 ， 分别在射线 ， 上滑动， ．当 与 相切时，点 恰好落在 上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证： ； （2）若 的半径为 ， ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【试题解析】 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把 放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】 解：（1）证明：连接 ，取 轴正半轴与 交点于点 ，如下图： ， 为 的外角， ， ， ， ． （2）过点 作 的垂线，交 与点 ，如下图： 由题意： 在 中， ， 由（1）知： ， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在 中，由勾股定理得： ， 即 ． 【点睛】 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 【命题意图】圆的综合性特别强，圆可以与三角形、特殊四边形结合。圆主要考查学生逻辑思维推理能力，是河南中考必考题型。 【命题方向】圆的综合题常考题型是第一问是证明题；第二问是计算或者满足什么条件是特殊四边形的填空题。圆综合题通常以解答题来考查。 【得分要点】 圆常见辅助线的作法 1：连接半径，构造等腰三角形 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。 2：遇弦添加弦心距或半径 根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。 3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 4：构造直角或直径 直径所对的圆周角是90°。 5：切线的性质有关的辅助线——添加过切点的半径 利用切线性质，可得半径与切线垂直 6：切线的判定有关的辅助线 （1） 有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。 7：与三角形内切圆有关的辅助线 遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。 1.（2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试题） 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（　　） A. 6.5 B. 5.5 C. 3.5 D. 2.5 2.（2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试题）如图，半圆O的直径 ，将半圆O绕点B顺针旋转 得到半圆 ，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）