专题05 三角函数中的最值与范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题05 三角函数中的最值与范围问题 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略 （1）形如的三角函数化为的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)； （2）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)； （3）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值). 典例1.（2021秋•成都月考）函数f（x）＝﹣3cos2x+12sinx的最大值为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】化简f（x）＝﹣3cos2x+12sinx＝﹣3（1﹣2sin2x）+12sinx＝6（sinx+1）2﹣9，利用二次函数图象求解． 【解答】解：f（x）＝﹣3cos2x+12sinx＝﹣3（1﹣2sin2x）+12sinx＝6（sinx+1）2﹣9， ∴当sinx＝1时，函数f（x）的值最大，最大值为15． 故选：A． 典例2.若0＜x，则函数y＝sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　） A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，2] C．（0，2] D．（1，] 【分析】利用同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域求得t＝sinx+cosx 的范围，再利用二次函数的性质求得y的最值，可得y的值域． 【解答】解：∵0＜x，∴x∈（，]，∴sin（x）∈（，1]， 令t＝sinx+cosxsin（x）∈（1，]， 则t2＝1+2sinxcosx，∴sinx•cosx，y＝t•（t+1）2﹣1， 故当t＝1时，函数y取得最小值为1，当t时，函数y取得最小值为2+2， 故函数的值域为 （1，2+2]， 故选：D． 三角函数中的范围问题 对于范围问题，一般采用子集的思想解决，特别是求取值范围的题目，可以先将参数当成已知，求出函数的单调区间、对称轴、对称中心等，再利用子集思想可求出参数值或参数的取值范围. 典例1.（2021秋•邢台月考）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则ω的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用正弦型函数的性质单调性的应用求出结果． 【解答】解：由于函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故f（）＝1，整理得（k∈Z）， 故ω＝6k（k∈Z）， 由于， 故， 整理得：0＜ω≤3． 所以ω的最小值为． 故选：A． 典例2.若函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 , 是函数含原点的递增区间，又因为函数在 上递增， 所以 ，所以得不等式组 ，得 ， 又 ， 的取值范围是，故选B . 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．（2021秋•河南月考）函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B．[0，π] C． D． 【分析】应用同角三角函数基本关系式把函数化为关于cosx的二次函数，令t＝cosx得原函数为y＝﹣（t）2+3，利用二次函数的最值求解即可． 【解答】解：由y＝sin2x+2cosx＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx）2+3， 令t＝cosx，得：y＝﹣（t）2+3， 显然当t＝cos（）时，y， 当t＝1时，y＝2， 由x∈[，α]可知cosx∈[，1]，使函数的值域为[，2]， 所以有α≥0，且α， 所以α的取值范围是：[0，]． 故选：A． 2．（2021秋•房山区校级期中）函数f（x）＝cosx﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　　） A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值． 【解答】解：由题意，f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣cos（﹣2x）＝cosx﹣cos2x＝f（x），所以该函数为偶函数， 又f（x）＝cosx﹣cos2x＝﹣2cos2x+cosx+1＝﹣2（cosx）2， 所以当cosx时，f（x）取最大值． 故选：D． 3．（2021秋•许昌月考）已知函数的定义域为[0，m]，值域为[﹣2，7]，则m的最大值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意应用正弦函数的性质及特殊值即可解决． 【解答】解：因为x∈[0，m]， 所以2x， 因为f（x）的值域为[﹣2，7]， ﹣2≤6sin（2x）+1≤7， 则sin（2x）， 根据正弦函数的性质sin（），sin（）， ∴， ∴， ∴m的最大值为， 故选：C． 4．（2021秋•玉溪月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当ω取最小值时，f（x）的一个单调递减区间是（　　） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，π] D．[﹣π，0] 【分析】由函