[名校联盟]江苏省射阳县特庸中学中考数学复习：几何中线段和的最小值与定值问题

        近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。         所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。         一、关于线段和的最小值         源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）：         如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？                  本题的解答是：作出点B 的轴对称点B1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。         利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：         【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题）         如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．                  析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC 的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。         【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）                           析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故 。         【关联题3】（2008 年湖北黄石市中考题）         如图4，在等腰⊿ABC 中，∠AB