课时分层作业13 导数的概念及其几何意义-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十三)　导数的概念及其几何意义 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线(　　) A．不存在　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 B　[由导数的几何意义可知选项B正确．] 2．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若＝1，则f ′(x0)＝(　　) A．2　　 B．1　　　　C．　　　　D．0 C　[∵，＝ ＝1∴ 即f (x0)＝.故选C.]＝ 3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2 B　[由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.] 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8) C　[因为y＝x3，所以y′＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.＝ 由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1. 故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.] 5．如图，函数y＝f (x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f (2)＋f ′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 D　[直线l的方程为＝1，＋ 即x＋y－4＝0. 又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.] 二、填空题 6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________. 2　[∵f ′(1)＝2， 又 (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.＝ ＝ ∴＝2.] 7．(一题两空)已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________. 2　－3　[＝ ＝＝mΔx＋2mx， 故f ′(x)＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.＝ 所以m＝2. 又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3， 故m＝2，n＝－3.] 8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________． (0，0)　[设P(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．] 三、解答题 9．若曲线y＝f (x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值． [解]　∵f ′(a)＝. ＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为 ∴三角形的面积为，得a＝±1. ·|a3|＝ 10．在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 分别求出满足上述条件的点的坐标． [解]　设y＝f (x)，则f ′(x)＝ (2x＋Δx)＝2x.＝ ＝ 设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2，4)． (2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为.，即P，所以y0＝＝－1，解得x0＝－，所以2x0· (3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－.，即P，所以y0＝ 11．(多选题)过点(2，0)作曲线f (x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝0 B．x＝0 C．12x－y－24＝0 D．27x－y－54＝0 AD　[∵f (x)＝x3，设切点(x0，x，＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x[3x＝ )．则k＝ ∴在x＝x0处的切线方程为y－x(x－x0)，＝3x 把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3. 当x0＝0时，切线方程为y＝0； 当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.故选AD] 12．已知函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0<f