课时分层作业11 数学归纳法-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十一)　数学归纳法 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)＋…＋＋ A．1＋<2＋<2　　　　　 B．1＋ C．1＋<3＋＋<3 D．1＋＋ B　[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2.故选B.]＋ 2．用数学归纳法证明1－，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) ＋…＋＋＝－＋…＋－＋ A． B．－ C．＋ D．－ C　[因为当n＝k时，左端＝1－.]－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－＋－＋…＋－＋，当n＝k＋1时，左端＝1－－＋…＋－＋ 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 4．利用数学归纳法证明1＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)＋…＋＋＋ A．1项　 B．k项　　　C．2k－1项　　　D．2k项 D　[用数学归纳法证明不等式1＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，＋…＋＋＋ 假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋，＋…＋＋ 则当n＝k＋1时，左边＝1＋，＋…＋＋＋＋…＋＋ ∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：，＋…＋＋ 共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项，故选D.] 5．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式＝(k＋1)＋1＝<＝<k＋1成立，当n＝k＋1时， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D.] 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．＝2＋…＋－＋ n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．] 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． (k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3. 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 故答案为(k＋3)3.] 8．已知f (n)＝1＋时，f (2k＋1)－f (2k)＝________.(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>＋…＋＋ ，当n＝k＋1时，＋…＋＋　[因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋＋ f (2k＋1)＝1＋，＋…＋＋＋…＋＋ 所以f (2k＋1)－f (2k)＝1＋.]＋…＋＋)＝＋…＋＋－(1＋＋…＋＋＋…＋＋ 三、解答题 9．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)； (2)用数学归纳法证明：1＋(n∈N*)．<2＋…＋＋ [证明]　(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． ②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝， 那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．＋(k＋4)＝ 综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． (2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋，<2＋…＋＋ 那么当n＝k＋1时，左边＝1＋，＋<2＋＋…＋＋ 因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2 <2k＋1， 所以2.＝2<＝＝＋ 故当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上，由①②可知1＋.<2＋…＋＋ 10．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)． [证明]　①当n＝1时，a2＝1＋，a1<a2，所以，n＝1时，不等式成立；＝ ②假设n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋>0，＝－ ＝－－ak＋1＝1＋ 所以，当n＝k＋1时，不等式