课时分层作业3 等差数列的概念及简单表示-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(三)　等差数列的概念及简单表示 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　) A．49　 B．50　　　C．51　　　D．52 D　[∵an＋1－an＝， ∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)×，＝2＋ ∴a101＝2＋＝52.] 2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝(　　) A．－15 B．－28 C．15 D．28 B　[设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2. 即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B.] 3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*) C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*) D　[由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10.故选D.]＝ 4．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　) A．0 B．log25 C．32 D．0或32 B　[依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)， ∴(2x－1)2＝2(2x＋3)， ∴(2x)2－4·2x－5＝0， ∴(2x－5)(2x＋1)＝0， ∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25.] 5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 B　[公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令⇒21<n≤22.又∵n∈N*，∴n＝22.] 即 二、填空题 6．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________. 3n　[因为n≥2时，an－an－1＝3， 所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.] 7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________. ].∴a10＝＝＋4×＋4×d＝＝.∴＝2d，∴d＝＝－＝－　[设公差为d，∵ 8．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________. ，＝　[法一：利用等差中项，b＝ a＝.＝－.∴c－a＝＝，c＝＝ 法二：利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝.]＝，故c－a＝2× 三、解答题 9．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.求数列的通项公式． [解]　由an＋2－2an＋1＋an＝0得2an＋1＝an＋an＋2， 根据等差中项知，该数列为等差数列．设公差为d， 则a4－a1＝3d，即d＝＝－2.＝ ∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10. 10．已知函数f (x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f (xn－1)(n≥2且n∈N*)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 015. [解]　(1)证明：∵xn＝f (xn－1)＝(n≥2且n∈N*)， ∴，＋＝＝ ∴(n≥2且n∈N*)，＝－ ∴是等差数列． (2)由(1)知，＝＝2＋＋(n－1)×＝ ∴，＝＝ ∴x2 015＝. 11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　) A．2　 B．3　　　C．4　　　D．5 ABC　[由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d.∴n＝＋1. ∵d∈N*，所以d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC.] 12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 BC　[等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大