专题02 圆与方程（知识串讲）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题02 圆与方程 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 知识点二　点与圆的位置关系 1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 知识点三　圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念： 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 . 知识点四　隐形圆 1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 2.两定点 A、B，动点 P 满足 ( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 3.两定点 A、B，动点 P 满足 确定隐形圆 4.两定点 A、B，动点 P 满足 PA2 PB2 是定值确定隐形圆 知识点五　直线与圆的位置关系 1．直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 3.切线方程的求法 (1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a. (2).求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出. (3) 当点在圆上时，过点的圆的切线方程为. 4.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 图① (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 知识点六 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3.相交弦及圆系方程问题的解决 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径