第12期 4.3解直角三角形4.4解直角三角形的应用（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（湘教版）

书 欲测量某物体的高度，可以利用测角仪测其仰角，从 而求出高度．如图１，现测量旗杆ＡＢ的高度：在距旗杆水平 距离为ａ的Ｄ点安置测角仪ＣＤ，测角仪高为ｂ，测得顶点Ａ 的仰角为α，则ＡＥ＝ａｔａｎα，ＡＢ＝ＡＥ＋ｂ＝ａｔａｎα＋ｂ． 如果被测物体较高，为了减小测量误差，测角仪要 放在离被测物体远一些，若两者之间的水平距离不便 测量，则可以通过两次测量，求出物高． 如图２，现在若要测量当地电视塔的高度ＡＢ，在与 塔底Ｂ成同一直线的Ｃ，Ｄ两处地面上分别测得塔顶Ａ 的仰角为α和β，已知ＣＤ＝ａ米，测角仪高ｂ米． 设ＡＢ１ ＝ｘ米，则 Ｂ１Ｃ１ ＝（ ｘ ｔａｎα ）米，Ｂ１Ｄ１ ＝ （ ｘ ｔａｎβ ）米． 因为Ｂ１Ｄ１－Ｂ１Ｃ１ ＝Ｃ１Ｄ１ ＝ＣＤ＝ ｘ ｔａｎβ － ｘｔａｎα ＝ａ米， 所以ｘ＝ ａｔａｎαｔａｎβｔａｎα－ｔａｎβ ． 因此，ＡＢ＝ＡＢ１＋Ｂ１Ｂ＝（ ａｔａｎαｔａｎβ ｔａｎα－ｔａｎβ ＋ｂ）米． 例　如图３，某幢大楼顶 部有一块广告牌 ＣＤ，甲、乙两 人分别在相距８米的Ａ，Ｂ两处 测得Ｄ点和Ｃ点的仰角分别为 ４５°和６０°，且Ａ，Ｂ，Ｅ三点在一 条直线上，若ＢＥ＝１５米，求这 块广告牌的高度（取槡３≈１．７３， 结果保留整数）． 解：因为ＡＢ＝８米，ＢＥ＝１５米， 所以ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝２３米． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＤＡＥ＝４５°，∠ＡＥＤ＝９０°， 所以ＤＥ＝ＡＥ＝２３米． 在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，∠ＣＢＥ ＝６０°，∠ＢＥＣ ＝９０°， ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ＣＥＢＥ， 所以ＣＥ＝ＢＥ·ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ 槡１５３米． 所以ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ＝ 槡１５３－２３≈３米． 答：这块广告牌的高度约为３米． 书 三、１５．（１）３－ 槡３２２． （２）－１２． １６．ｓｉｎＡ＝槡１５５ ；ｃｏｓＡ ＝槡１０５ ；ｔａｎＡ＝ 槡６ ２． １７．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，因 为ＢＣ＝２，∠Ａ＝３０°，所以 ＡＣ＝ ＢＣｔａｎＡ＝ 槡２３，所以ＥＦ ＝ＡＣ＝ 槡２３．因为 ∠Ｅ＝ ４５°，所以ＦＣ＝ＥＦ·ｓｉｎＥ ＝槡６，所以ＡＦ＝ＡＣ－ＦＣ ＝ 槡２３－槡６． １８．（１）因为 ｓｉｎＢ＝ ｂ ｃ＝ 槡６ 槡２３ ＝槡２２，且∠Ｂ为 锐角，所以∠Ｂ＝４５°． （２）因为ｃ＝１２，ｓｉｎＡ ＝１３ ＝ ａ ｃ，所以ａ＝４，所 以由勾股定理，得 ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝ 槡８２． １９． （１）ｃｏｓ１５° ＝ ｃｏｓ（４５° － ３０°） ＝ ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５° ｓｉｎ３０°＝槡２２ × 槡３ ２ ＋ 槡２ ２ × １ ２ ＝ 槡６＋槡２ ４ ． （２）ｔａｎ１５°＝ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５° ＝ 槡６－槡２ ４ 槡６＋槡２ ４ ＝２－槡３． ２０．（１）１． （２）０＜ｓａｄＡ＜２． （３）ｓａｄα＝槡１０５ ． 上期４版 重点集训营 １．原式 ＝ １２（１－ 槡３）＝ １ ２ ×（１－槡３）＋ 书 上期２版 ４．１．１正弦 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．Ａ； ６．６０°；　７．ｍｓｉｎ４０°． ８．设ＡＥ＝ｘ，则ＢＥ＝３ｘ，ＢＣ＝４ｘ，ＡＭ＝２ｘ，ＣＤ＝ ４ｘ， 所 以 ＥＣ ＝ （３ｘ）２＋（４ｘ）槡 ２ ＝ ５ｘ，ＥＭ ＝ ｘ２＋（２ｘ）槡 ２ ＝槡５ｘ，ＣＭ＝ （２ｘ） ２＋（４ｘ）槡 ２ ＝ 槡２５ｘ， 所以ＥＭ２＋ＣＭ２ ＝ＣＥ２，所以△ＣＥＭ是直角三角形，所 以ｓｉｎ∠ＥＣＭ ＝ＥＭＣＥ＝ 槡５ ５． ４．１．２余弦 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．６０°；　５．４５； ６．２４２５；　７． 槡２ １３ １３ ． ８．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＡＢ＝５，由勾 股定理得，ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝４，所以ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５，ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ３ ５，所以ｓｉｎＡ·ｃｏｓＡ＝ ４ ５× ３ ５＝ １２ ２５． 能力提高　９．证明：因为ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＡＢ 上的高，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＣＤＢ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ｃｏｓＢ＝ＢＣＡＢ，在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ｃｏｓＢ＝ ＢＤ ＢＣ，所以 ＢＣ ＡＢ＝ ＢＤ ＢＣ， 即ＢＣ２ ＝ＡＢ·ＢＤ． ４．２正切 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．１２； ６．１０５°；　７．５或７． ８．（１）原式 ＝２×（槡２２） ２＋槡３×槡 ３ ３－ １ ２ ＝２× １ ２ ＋１－１２ ＝ ３ ２． （２）原式 ＝２×１－１１ ２ －２×（槡３２） ２＋３２ ＝２－２－ ３ ２＋ ３ ２ ＝０． 能力提高　９．（１）图略． （２）图略，ｔａｎ∠ＣＢＤ＝３５． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ 二、９．３４；　１０． 槡２