第11期 3.6弧长及扇形面积的计算3.7 正多边形与圆（答案见13期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（青岛版）

书 与圆有关的探索性问题在数学学习中屡见不鲜．现 列举两例介绍其解法，供大家学习时参考． 例１　如图１，以△ＡＢＣ的边ＡＢ为直径的⊙Ｏ交边 ＡＣ于点Ｄ，且过点Ｄ的切线ＤＥ平分边ＢＣ． （１）ＢＣ与⊙Ｏ是否相切？请说明理由． （２）当△ＡＢＣ满足什么条件时，以点Ｏ，Ｂ，Ｅ，Ｄ为顶 点的四边形是平行四边形？并说明理由． 解析：（１）连接ＯＤ，ＢＤ，如图２所示． 因为ＤＥ切⊙Ｏ于点Ｄ，所以ＯＤ⊥ＤＥ，即∠１＋∠２ ＝９０°． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°，即ＢＤ⊥ ＡＣ． 因为ＤＥ平分ＢＣ，所以在Ｒｔ△ＢＤＣ中，ＤＥ＝ＥＢ．所 以∠２＝∠４． 又因为ＯＤ＝ＯＢ，所以∠１＝∠３．所以∠３＋∠４＝ ９０°，即∠ＡＢＣ＝９０°． 所以ＡＢ⊥ＢＣ，即ＢＣ与⊙Ｏ相切． （２）若以点Ｏ，Ｂ，Ｅ，Ｄ为顶点的四边形是平行四边 形，因为ＯＤ＝ＯＢ，∠ＯＢＥ＝９０°，所以四边形ＯＢＥＤ为 正方形． 因为ＤＢ是正方形ＯＢＥＤ的对角线，所以∠３＝∠４ ＝４５°． 因为∠ＡＤＢ＝９０°，所以∠Ａ＝４５°． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，所以∠Ｃ＝９０°－∠Ａ＝４５°＝ ∠Ａ． 所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形． 所以当△ＡＢＣ是等腰直角三角形时，以点 Ｏ，Ｂ，Ｅ， Ｄ为顶点的四边形是平行四边形． 例２　如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ． （１）请写出三个不同类型 獉獉獉獉 的正确结论； （２）如图４，连接ＣＤ，设∠ＣＤＢ＝α，∠ＡＢＣ＝β，试找 出α与β之间的一个关系式，并给予证明． 解析：（１）由ＯＤ＝ＯＢ，可得△ＯＢＤ是等腰三角形； 由ＡＢ是⊙Ｏ的直径，可得∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ是 直角三角形； 由ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ， 可得ＢＥ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＥＤ＝∠ＯＥＢ＝９０°； 由∠ＯＥＢ＝９０°，可得ＯＥ２＋ＢＥ２ ＝ＯＢ２等． 任选其中三个都符合要求． （２）α＝９０°＋β，请同学们自己写出证明过程． 书 １８．（１）连接ＯＢ， 因为弦 ＡＢ⊥ ＯＣ， ) ＡＢ 所对的圆周角度数为６０°， 所以 ) ＡＢ所对的圆心角度数 为 １２０°，所以 ∠ＢＯＣ ＝ ６０°．因为 ＯＢ＝ＯＣ，所以 △ＯＢＣ是等边三角形，所以 ＢＣ＝ＯＣ＝４． （２）证明：因为 ＯＣ＝ ＣＰ，ＢＣ＝ＯＣ，所以 ＢＣ＝ ＣＰ，所以∠ＣＢＰ＝∠ＣＰＢ． 因为 △ＯＢＣ是等边三角 形，所以 ∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ ＝６０°，所以∠ＣＢＰ＝３０°， 所以 ∠ＯＢＰ ＝∠ＣＢＰ＋ ∠ＯＢＣ＝９０°，所以 ＯＢ⊥ ＢＰ．因为点Ｂ在⊙Ｏ上，所 以ＰＢ是⊙Ｏ的切线． 附加题 　（１）证明： 因为点Ａ关于ＯＰ的对称点 Ｃ恰好落在⊙Ｏ上，所以 ) ＡＰ ) ＝ＰＣ，所 以 ∠ＡＯＰ ＝ ∠ＣＯＰ，所 以 ∠ＡＯＰ ＝ １ ２∠ＡＯＣ．又因为 ∠ＡＢＣ ＝ １２∠ＡＯＣ，所以 ∠ＡＯＰ ＝∠ＡＢＣ，所以ＰＯ∥ＢＣ． （２）连接ＰＣ，因为ＣＤ 为⊙Ｏ的切线，所以ＯＣ⊥ ＣＤ．又 ＡＤ⊥ ＣＤ，所以 ＯＣ ∥ ＡＤ，所 以 ∠ＡＰＯ ＝ ∠ＣＯＰ．因 为 ∠ＡＯＰ ＝ ∠ＣＯＰ，所 以 ∠ＡＰＯ ＝ ∠ＡＯＰ，所以 ＯＡ＝ＡＰ．因 为ＯＡ＝ＯＰ，所以 △ＡＰＯ 为等 边 三 角 形， 所 以 ∠ＡＯＰ＝６０°．因为 ＯＰ∥ ＢＣ，所以 ∠ＯＢＣ＝∠ＡＯＰ ＝６０°．又 ＯＣ＝ＯＢ，所以 △ＢＣＯ为等边三角形，所 以 ∠ＣＯＢ ＝６０°，所以 ∠ＰＯＣ＝１８０°－（∠ＡＯＰ ＋∠ＣＯＢ）＝６０°．又ＯＰ＝ ＯＣ，所以 △ＰＯＣ也为等边 三角形，所以 ∠ＰＣＯ ＝ ６０°，ＰＣ＝ＯＰ＝ＯＣ．又因 为 ∠ＯＣＤ ＝９０°，所以 ∠ＰＣＤ＝３０°．在Ｒｔ△ＰＣＤ 中，ＰＤ＝ １２ＰＣ，因为 ＰＣ ＝ＯＰ＝１２ＡＢ，所以ＰＤ＝ １ ４ＡＢ，所以 ＡＢ＝４ＰＤ＝ ４． 上期４版 重点集训营 １．（１）证明：连接ＯＦ， 因为 ＦＧ是 ⊙Ｏ的切 线，所以 ∠ＧＦＤ＋∠ＯＦＤ !"# !$"%&'( 书 挑战吧 如右图，在边长为４的正方形 ＡＢＣＤ中，以Ａ为圆心，３为半径作 圆弧 ) ＥＦ，以 Ｄ为圆心，４为半径作 圆弧 ) ＡＣ．若图中阴影部分的面积 分别 为 Ｓ１，Ｓ２，则 Ｓ１ －Ｓ２ ＝ ． 书 以几何图形的滚动或旋转为载体，探求在运动过 程中某个点所经过的路线长度（即弧长）的试题是中 考的常见类型题，也是同学们学习的难点，现对这类问 题的解题思路进行分析，供大家参考． 一、旋转三角形 例１　如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ 的斜边 ＡＢ在直线 ｌ上，ＡＣ ＝１，ＡＢ＝２．将Ｒｔ△ＡＢＣ绕 点Ｂ在平面内按顺时针方 向旋转，使边ＢＣ落在直线ｌ 上，得到 △Ａ１ＢＣ１，再将 △Ａ１ＢＣ１绕点Ｃ１在平面内按顺时针方向旋转，使边 Ａ１Ｃ１落到