第14期 4.4用因式分解法解一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式 4.6一元二次方程根与系数的关系4.7一元二次方程的应用（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（青岛版）

书 一、增长率问题 例１　“早黑宝”葡萄 品种是我省农科院研制的 优质新品种，在我省被广 泛种植，邓州市某葡萄种 植基地２０１９年种植“早黑 宝”１００亩，到２０２１年“早 黑宝”的种植面积达到 １９６亩．求该基地这两年 “早黑宝”种植面积的平 均增长率． 分析：利用增长率 ａ（１＋ｘ）２ ＝ｂ列方程求 解． 解：设该基地这两年 “早黑宝”种植面积的平 均增长率为 ｘ，根据题意 得 １００（１＋ｘ）２ ＝１９６， 解得 ｘ１ ＝ ０．４ ＝ ４０％，ｘ２ ＝－２．４（不合题 意，舍去）． 答：该基地这两年 “早黑宝”种植面积的平均增长率为４０％． 二、面积问题 例２　 在美化校园的活 动中，某兴趣小组想借助如右 图所示的一面墙 ＭＮ（墙 ＭＮ 长为２５ｍ），用５０ｍ长的篱笆 围成一个矩形花园ＡＢＣＤ，请你设计一种围法，使矩形 花园的面积为３００ｍ２． 分析：设ＡＢ＝ｘｍ，则ＢＣ＝（５０－２ｘ）ｍ，根据矩形 的面积公式结合矩形花园的面积为３００ｍ２，即可得出 关于ｘ的一元二次方程，解之取其较大值即可得出 结论． 解：设ＡＢ＝ｘｍ，则ＢＣ＝（５０－２ｘ）ｍ， 依题意，得ｘ（５０－２ｘ）＝３００， 整理，得ｘ２－２５ｘ＋１５０＝０， 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝１５． 因为５０－２ｘ≤２５，所以ｘ≥ ２５２， 所以ｘ＝１５． 答：当ＡＢ＝１５ｍ时，可使矩形花园的面积为３００ｍ２． 三、营销问题 例３　某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销 售２０件，每件盈利４０元．为了扩大销售，增加盈利，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发 现，如果每件衬衫每降价５元，商场平均每天可多售出 １０件．若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫应降 价多少元？ 分析：根据总利润 ＝每件的利润 ×销售数量，即 可得出关于ｘ的一元二次方程，解之取其较大值即可 得出结论． 解：设每件衬衫降价ｘ元，则商场平均每天可销售 （２０＋ｘ５×１０）件， 依题意，得（４０－ｘ）（２０＋ｘ５×１０）＝１２００， 整理，得ｘ２－３０ｘ＋２００＝０， 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝２０． 因为尽量减少库存，所以ｘ＝２０． 答：每件衬衫应降价２０元． !" # ! " # $ % & 书 一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）是否有实数 根，可以根据根的判别式ｂ２－４ａｃ的符号判断．同学们在 应用根的判别式解题时，要学会领悟以下三个方面的 问题． 领悟一：注意应用的前提条件是ａ≠０ 例１　若关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－ｘ＋３＝０有 实数根，求ｋ的取值范围． 分析：若原方程有实数根，则满足根的判别式 ｂ２－ ４ａｃ≥０，列出一个关于ｋ的不等式，同时还应注意ｋ≠０， 从而可得到ｋ的取值范围． 解：因为方程有实数根， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－１）２－４×ｋ×３≥０， 即１－１２ｋ≥０．解得ｋ≤ １１２． 又因为一元二次方程的二次项系数不为０，即ｋ≠０， 所以ｋ的取值范围是ｋ≤ １１２且ｋ≠０． 领悟二：注意先把方程化成一般形式 例２　一元二次方程４ｘ２＋１４ ＝２ｘ的根的情况是 （　　） Ａ．没有实数根 Ｂ．只有一个实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．有两个不相等的实数根 分析：将方程化成一般形式，然后验证ｂ２－４ａｃ与０ 的关系，从而得出根的情况． 解：将方程化成一般形式为４ｘ２－２ｘ＋１４ ＝０， 在方程４ｘ２－２ｘ＋１４＝０中，ａ＝４，ｂ＝－２，ｃ＝ １ ４， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－２）２－４×４×１４ ＝０． 所以原方程有两个相等的实数根．故选Ｃ． 领悟三：注意理解方程没有实数根的含义 例３　若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（２ｋ－１）ｘ＋ｋ２ －１＝０没有实数根，则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ≥ ５４　　　　　　　Ｂ．ｋ＞ ５ ４ Ｃ．ｋ＜ ５４ Ｄ．ｋ≤ ５ ４ 分析：由于原方程没有实数根，所以应满足根的判 别式ｂ２－４ａｃ＜０，列出关于ｋ的不等式，求出不等式的 解集即可得到ｋ的取值范围． 解：因为ｘ２＋（２ｋ－１）ｘ＋ｋ２－１＝０没有实数根， 所以ｂ２－４ａｃ＝（２ｋ－１）２－４×１×（ｋ２－１）＜０， 即 －４ｋ＋５＜０． 解得ｋ＞ ５４．故选Ｂ． ! !" #$% 书 上期２版 ４．１一元二次方程 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｄ； ５．－３；　６．４；　７．ｘ＝－１． ８．由题意，得（３２－２ｘ）（２０－ｘ）＝５７０． 整理，得２ｘ２－７２ｘ＋７０＝０．其中ａ＝２，ｂ＝－７２， ｃ＝７０． 能力提高　９．因为关于ｘ的方程（ｋ－３）ｘ｜ｋ｜－３－ｘ－ ２＝０是一元二次方程，所以｜ｋ｜－３＝２且ｋ－３≠０， 解得ｋ＝±５．当ｋ＝５时，不等式ｋｘ－２ｋ＋６≤０可化为 ５ｘ－２×５＋６≤０，解得ｘ≤ ４５；当ｋ＝－５时，不等式ｋｘ －２ｋ＋６≤０可