7.5绝对值不等式 -2022届高考数学一轮复习讲义

7.5 绝对值不等式 一、学习目标 1.掌握绝对值不等式的解法； 2.理解绝对值三角不等式并会初步应用. 二、知识回顾 1.绝对值不等式的基本类型： ① ； ② 或 . 2.解绝对值不等式的基本方法：①去绝对值符号； ②数形结合. 3.绝对值三角不等式：若 ， ，则 . （1）等号成立条件： ① ； ② ③ ； ④ （2） 拓展： ， 当且仅当 ， ，…， 同号时取等号. 3、 典例分析 例1.解不等式：（1） ； （2） ； （2） 【答案】（1） 或 ； （2） 或 ； （3） . 例2.（1）若关于 的不等式 的解集为 ，则 ______. （2）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是__________.【答案】（1） ； （2） . 例3.（1）函数 的最小值是_______. （2）若实数 满足 ， ，则 的最大值是_______. 【答案】（1）3； （2）7. 例4.已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|. (1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－； (2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2|＝ 所以f(x)≤－≤x<3或x≥3， 解得或或等价于 所以不等式的解集为 . (2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|， 所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤， 所以实数a的取值范围是 . 例5.（1）已知 的最小值为 ， 则实数 _______； （2）设函数 ， ，求证： . 【答案】 （1）f(x)＝|x＋－a)|＋2x－2a－a)－(x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a|＋|x－ ＝|－2a＝4－2a.＋2x－2a≥2 |＋2x－2a＝ 当且仅当.，解得a＝＝2x，即x＝1时，上式等号成立．由4－2a＝ （2）证明：f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a＝(x－a)(x＋a－1)， 所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1| ＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1＜2|a|＋2＝2(|a|