第17期 24.2.3圆的确定24.3圆周角（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（沪科版）

书 三角形的外接圆是圆中解答题的一个重要类型， 涉及的知识点广泛，考查方式灵活，现采撷两个典型例 题，供大家鉴赏． 例１　如图１，已知等腰直角三 角形 ＡＢＣ，点 Ｐ是斜边 ＢＣ上一点 （不与Ｂ，Ｃ重合），ＰＥ是△ＡＢＰ的外 接圆⊙Ｏ的直径． （１）求证：△ＡＰＥ是等腰直角三 角形； （２）若⊙Ｏ的直径为２，求ＰＣ２＋ＰＢ２的值． 分析：（１）只要证明∠ＡＥＰ＝∠ＡＢＰ＝４５°，∠ＰＡＥ ＝９０°即可； （２）作ＰＭ⊥ ＡＣ于 Ｍ，ＰＮ⊥ ＡＢ于 Ｎ，则四边形 ＰＭＡＮ是矩形，可得ＰＭ ＝ＡＮ，由△ＰＣＭ，△ＰＮＢ都是 等腰直角三角形，推出 ＰＣ＝槡２ＰＭ，ＰＢ＝槡２ＰＮ，可得 ＰＣ２＋ＰＢ２ ＝２（ＰＭ２＋ＰＮ２）＝２（ＡＮ２＋ＰＮ２）＝２ＰＡ２ ＝ＰＥ２ ＝２２ ＝４． 解：（１）证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， 所以∠Ｃ＝∠ＡＢＣ＝４５°． 所以∠ＡＥＰ＝∠ＡＢＰ＝４５°． 因为ＰＥ是直径，所以∠ＰＡＥ＝９０°． 所以∠ＡＰＥ＝∠ＡＥＰ＝４５°．所以ＡＰ＝ＡＥ． 所以△ＰＡＥ是等腰直角三角形． （２）如图１，过点Ｐ作ＰＭ⊥ＡＣ于Ｍ，ＰＮ⊥ＡＢ于 Ｎ，则四边形ＰＭＡＮ是矩形，所以ＰＭ ＝ＡＮ． 因为△ＰＣＭ，△ＰＮＢ都是等腰直角三角形， 所以ＰＣ＝槡２ＰＭ，ＰＢ＝槡２ＰＮ． 所以ＰＣ２＋ＰＢ２＝２（ＰＭ２＋ＰＮ２）＝２（ＡＮ２＋ＰＮ２） ＝２ＰＡ２ ＝ＰＥ２ ＝２２ ＝４． 例２　如图２，∠ＢＡＣ的平分线 交△ＡＢＣ的外接圆于点 Ｄ，∠ＡＢＣ 的平分线交ＡＤ于点Ｅ． （１）求证：ＤＥ＝ＤＢ； （２）若∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＤ＝４， 求△ＡＢＣ外接圆的半径． 分析：（１）由角平分线得出 ∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，由圆周角定理得出∠ＤＢＣ ＝∠ＣＡＤ，证出∠ＤＢＣ＝∠ＢＡＥ，再由三角形的外角性 质得出∠ＤＢＥ＝∠ＤＥＢ，即可得ＤＥ＝ＤＢ； （２）由（１）得 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，得出ＣＤ＝ＢＤ＝４，由圆周 角定理得出ＢＣ是直径，∠ＢＤＣ＝９０°，由勾股定理求出 ＢＣ，即可得出△ＡＢＣ外接圆的半径． 解：（１）证明：因为 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ．因为 ∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＤＢＣ＝∠ＢＡＥ．因为∠ＤＢＥ＝ ∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＣ，∠ＤＥＢ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＤＢＥ＝∠ＤＥＢ．所以ＤＥ＝ＤＢ． （２）如图２，连接ＣＤ．由（１）得 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＣＤ ＝ＢＤ＝４．因为 ∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ＢＣ是直径．所以 ∠ＢＤＣ＝９０°．所以 ＢＣ＝ ＢＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡４２．所以 △ＡＢＣ外接圆的半径 ＝ １２× 槡４２＝ 槡２２． 书 １７．找到ＢＣ的中点Ｅ， 连接ＡＥ，交半圆于 Ｐ，此时 ＡＰ有最小值． 因为 ＡＥ＝ ２２＋１槡 ２ ＝槡５，ＰＥ＝１，所以 ＡＰ＝ 槡５－１． １８．（１）连接 ＡＯ和 ＤＯ，因为 ＥＦ⊥ ＡＢ，且 ＥＦ 过圆心，所以 ＡＦ＝ １２ＡＢ ＝３．因为ＡＯ＝５，所以ＯＦ ＝ ＡＯ２－ＡＦ槡 ２ ＝４．因为 ＡＢ∥ＣＤ，所以 ＥＦ⊥ ＣＤ． 同理ＤＥ＝ １２ＣＤ＝４，ＯＥ ＝ ＯＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝３，所以 ＥＦ＝ＯＦ＋ＯＥ＝７． （２）连接ＢＯ，因为ＣＤ ＝ 槡４６，所以ＤＥ＝ 槡２６，所 以ＯＥ＝ ＯＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝ １．设ＥＦ＝ＢＦ＝ｘ，则 ＯＦ ＝ｘ－１，在 Ｒｔ△ＯＢＦ中， ＯＦ２＋ＢＦ２＝ＢＯ２，所以（ｘ －１）２＋ｘ２＝２５，解得ｘ＝ ４或－３（舍去），所以ＢＦ＝ ４，所以ＡＢ＝２ＢＦ＝８． １９．证明：（１）如图２， 连接ＯＣ．因为 ) ) ＡＣ＝ＢＣ，所 以∠ＣＯＤ＝∠ＣＯＥ．因为 ＯＡ＝ＯＢ，ＡＤ＝ＢＥ，所以 ＯＤ＝ＯＥ．因为ＯＣ＝ＯＣ， 所以 △ＣＯＤ≌ △ＣＯＥ，所 以ＣＤ＝ＣＥ． （２）如图２，分别连接 ＯＭ，ＯＮ．因为 △ＣＯＤ≌ △ＣＯＥ，所以 ∠ＣＤＯ ＝ ∠ＣＥＯ，∠ＯＣＤ＝∠ＯＣＥ． 因为ＯＣ＝ＯＭ＝ＯＮ，所以 ∠ＯＣＭ ＝∠ＯＭＣ，∠ＯＣＮ ＝∠ＯＮＣ，所以∠ＯＭＤ＝ ∠ＯＮＥ．因为 ∠ＯＤＣ ＝ ∠ＤＭＯ＋∠ＭＯＤ，∠ＣＥＯ ＝∠ＣＮＯ＋∠ＥＯＮ，所以 ∠ＭＯＤ＝∠ＮＯＥ，所以 ) ＡＭ ) ＝ＢＮ． ２０．（１）证明：连接 ＡＣ．因为ＡＢ⊥ＣＤ于点Ｅ， 所以ＣＥ＝ＤＥ． 书 上期２版 ２４．２．１垂径分弦 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．Ｂ； ５．１２；　６． 槡２ １５；　７．１００；　８．槡 ５ ２． ９．∠ＡＯＣ＝６０°． 能力提高　１０．直径ＡＢ的长为２６寸． １１．这辆卡车能通过厂门．理由如下： 如图１，设ＭＮ为卡车的宽度，过 Ｍ，Ｎ作ＡＢ的垂线交半圆于点 Ｃ，Ｄ， 连接ＣＤ，ＯＣ，过点 Ｏ作 ＯＥ⊥ ＣＤ，Ｅ