第12期 23.2解直角三角形及其应用（答案见14期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（沪科版）

书 欲测量某物体的高度，可以利用测角仪测其仰角，从 而求出高度．如图１，现测量旗杆ＡＢ的高度：在距旗杆水平 距离为ａ的Ｄ点安置测角仪ＣＤ，测角仪高为ｂ，测得顶点Ａ 的仰角为α，则ＡＥ＝ａｔａｎα，ＡＢ＝ＡＥ＋ｂ＝ａｔａｎα＋ｂ． 如果被测物体较高，为了减小测量误差，测角仪要 放得离被测物体远一些，若两者之间的水平距离不便 测量，则可以通过两次测量，求出物高． 如图２，现在若要测量当地电视塔的高度ＡＢ，在与 塔底Ｂ成同一直线的Ｃ，Ｄ两处地面上分别测得塔顶Ａ 的仰角为α和β，已知ＣＤ＝ａ米，测角仪高ｂ米． 设ＡＢ１ ＝ｘ米，则 Ｂ１Ｃ１ ＝（ ｘ ｔａｎα ）米，Ｂ１Ｄ１ ＝ （ ｘ ｔａｎβ ）米． 因为Ｂ１Ｄ１－Ｂ１Ｃ１ ＝Ｃ１Ｄ１ ＝ＣＤ＝ ｘ ｔａｎβ － ｘｔａｎα ＝ａ， 所以ｘ＝ ａｔａｎαｔａｎβｔａｎα－ｔａｎβ ． 因此，ＡＢ＝ＡＢ１＋Ｂ１Ｂ＝（ ａｔａｎαｔａｎβ ｔａｎα－ｔａｎβ ＋ｂ）米． 例　如图３，某幢大楼顶 部有一块广告牌 ＣＤ，甲、乙两 人分别在相距８米的Ａ，Ｂ两处 测得Ｄ点和Ｃ点的仰角分别为 ４５°和６０°，且Ａ，Ｂ，Ｅ三点在一 条直线上，若ＢＥ＝１５米，求这 块广告牌的高度（取槡３≈１．７３， 结果保留整数）． 解：因为ＡＢ＝８米，ＢＥ＝１５米， 所以ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝２３（米）． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＤＡＥ＝４５°，∠ＡＥＤ＝９０°， 所以ＤＥ＝ＡＥ＝２３（米）． 在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，∠ＣＢＥ ＝６０°，∠ＢＥＣ ＝９０°， ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ＣＥＢＥ， 所以ＣＥ＝ＢＥ·ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ 槡１５３（米）． 所以ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ＝ 槡１５３－２３≈３（米）． 答：这块广告牌的高度约为３米． 书 三、１５．（１）３－ 槡３２２． （２）－１２． １６．ｓｉｎＡ＝槡１５５ ；ｃｏｓＡ ＝槡１０５ ；ｔａｎＡ＝ 槡６ ２． １７．在Ｒｔ△ＡＢＣ中， 因为 ＢＣ＝２，∠Ａ＝ ３０°， 所以 ＡＣ ＝ ＢＣｔａｎＡ ＝ 槡２３， 所以ＥＦ＝ＡＣ＝ 槡２３． 因为∠Ｅ＝４５°， 所以ＦＣ＝ＥＦ·ｓｉｎＥ ＝槡６， 所以ＡＦ＝ＡＣ－ＦＣ＝ 槡２３－槡６． １８．（１）∠Ｂ＝４５°． （２）因为ｃ＝１２，ｓｉｎＡ ＝１３ ＝ ａ ｃ，所以ａ＝４，所 以由勾股定理，得 ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝ 槡８２． １９． （１）ｃｏｓ１５° ＝ ｃｏｓ（４５° － ３０°） ＝ ｃｏｓ４５°ｃｏｓ ３０° ＋ ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°＝槡２２ × 槡３ ２ ＋槡２２ × １ ２ ＝ 槡６＋槡２ ４ ． （２）ｔａｎ１５°＝ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５° ＝ 槡６－槡２ ４ 槡６＋槡２ ４ ＝２－槡３． ２０．（１）１． （２）０＜ｓａｄＡ＜２． （３）ｓａｄα＝槡１０５ ． 上期４版 重点集训营 １．原式 ＝ １２（１－ 槡３）＝ １ ２ ×（１－槡３）＋ 书 上期２版 ２３．１．１锐角的三角函数（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．１２；　５．９； ６．５或７． 能力提高　７．（１）图略． （２）图略，ｔａｎ∠ＣＢＤ＝ ３５． ２３．１．１锐角的三角函数（第二课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．Ａ； ５．ｍｓｉｎ４０°；　６．４５；　７． ２４ ２５． 能力提高　８．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３， ＡＢ＝５，由勾股定理得，ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４，所以 ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５，ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ３ ５，所以 ｓｉｎＡ·ｃｏｓＡ＝ ４５× ３ ５ ＝ １２ ２５． ２３．１．２３０°，４５°，６０°角的三角函数值 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．６０°；　５．１０５°． ６．（１）原式 ＝２×（槡２２） ２＋槡３×槡 ３ ３－ １ ２ ＝２× １ ２ ＋１－１２ ＝ ３ ２． （２）原式 ＝２×１－１１ ２ －２×（槡３２） ２＋３２ ＝２－２ －３２＋ ３ ２ ＝０． 能力提高 　７．延长ＡＤ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ．在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，由ＡＢ＝２００ｍ，∠Ａ＝６０°，得 ＢＥ＝ＡＢ· ｔａｎＡ ＝ 槡２００ ３（ｍ），ＡＥ ＝ ＡＢ ｃｏｓ６０° ＝ ４００（ｍ）．在 Ｒｔ△ＣＤＥ中，由ＣＤ＝１００ｍ，∠ＣＥＤ＝９０°－∠Ａ＝３０°， 得ＣＥ＝２ＣＤ＝２００ｍ，ＤＥ＝ ＣＤｔａｎ∠ＣＥＤ ＝ 槡１００３（ｍ），所 以ＡＤ＝ＡＥ－ＤＥ＝４００－ 槡１００３≈２２７（ｍ），ＢＣ＝ＢＥ －ＣＥ＝ 槡２００３－２００≈１４６（ｍ）． ２３．１．３一般锐角的三角函数值 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．６０°；　５．１６．５． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ 二