5.3.1函数的单调性(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

5.3.1 函数的单调性 【知识目录】 1、 求单调区间 2、 单调性应用：求导识图 3、 单调性应用：构造函数比大小（难点） 4、 单调性应用：解不等式 5、 单调性应用：构造函数（重点难点） 6、 含参讨论单调性（重点） 7、 高中联赛题选。 典例分类精讲 · 一、求单调区间 【典型例题】 【例1】函数的减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求得，根据减函数有求减区间即可. 【详解】 由题意，， 令，得，则，故的减区间是.故选：C 【例2】下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案. 【详解】 选项A中，在 上不恒非负，选项A错误； 选项B中， ，所以 的图像不关于原点对称，选项B错误； 选项C中， ，即 为奇函数，图像关于原点对称 又，时，恒成立 所以在上单调递增，选项C正确； 选项D中，当 时，在上为单调增函数在 上为单调减函数，选项D错误. 故选：C. 【例3】函数的减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间. 【详解】 函数的定义域为，求导得，令，，，因此函数的减区间为. 故选：C. 【例4】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可. 【详解】 函数的定义域为：， ， 当时，函数单调递减，因为，所以解得， 故选：D 【对点实战】 1.函数在上的单调性是（ ）． A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】 利用导数判断函数在上的单调性. 【详解】 ，令，得；令，得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增．故选：C 2.函数的单调递减区间为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接求出导数，建立不等式，即可求出单减区间. 【详解】 的定义域为，因为，，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A． 3.已知函数，则( ) A．是奇函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上先递减再递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上先递减再递增 【答案】C 【分析】 根据已知条件求出，进而求出的奇偶性，最后利用导函数求在上的单调性即可求解. 【详解】 由可得，， 故为偶函数，从而AB错误； 由，当时，， 故在上单调递减，所以C正确，D错误. 故选：C. · 二、单调性应用：求导识图 1.判断图像， 可以用函数综合知识来判断， 2.无法用函数综合知识，可以借助于求导判断。 【典型例题】 【例1】如图，函数的部分图像大致为（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的奇偶性排除AB，再由函数的导数判断出函数在上的单调性即可判断CD. 【详解】 ，是奇函数， 图象关于原点成中心对称，故排除AB, ，当时，，， 在上单调递减，故排除C.故选：D 【例2】函数的函象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 确定函数为奇函数排除C，判断当时，，排除BD，得到答案. 【详解】 ，则，函数为奇函数，排除C； 设，则，函数单调递增，， 故当时，，即，排除BD.故选：A. 【例3】函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合奇偶性、特殊点和导数确定正确选项. 【详解】 ，.所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B选项. ，排除A选项. ，，排除C选项.故选：D 【例4】函数的大致图象为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】 分两种情况，研究函数的导数，结合函数图象可排除BCD. 【详解】 因为，当时，，令解得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以排除BD， 当时，，则，即上点的切线斜率都大于1，所以A正确C错误. 故选：A 【例5】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由函数有两个零点排除选项C，D；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答. 【详解】 由得，或，选项C，D不满足； 由求导得，当或时，，当时，， 于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，B不满足，A满足. 故选：A 【对点实战】 1.已知，则下列函数中在R上单调增的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于选项ABD：对函数求导，求出的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案