第02讲 相似三角形的性质-2021-2022学年九年级数学下册同步精品随堂讲义+练习+检测(人教版)

第02讲 相似三角形的性质 【教学目标】 1.掌握相似三角形的角平分线、高、中线、周长与面积的性质及应用， 会用它们的性质解决实际问题 2.经历观察，探索，发现，归纳的过程，探讨相似三角形的周长与面积的 性质，在发现问题和解决问题的过程中，学会解决问题的方法. 3.在学习过程中，能欣赏几何图形的简单美，体验学习数学的乐趣和成 功的喜悦. 【教学建议】 “相似三角形的性质”是本章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究.这里我们希望能够培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力. 【知识导图】 【知识导入】 如果两个三角形相似，那么它们的周长、面积有什么关系？两个相似多边形呢？ 【复习预习】 相似三角形判定：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（AA） 判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS） 判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS） 判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似. 判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似. 上节课我们学习了相似三角形的判定，本节课我们研究相似三角形的性质. 【知识讲解】 1、相似三角形的性质1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 知识拓展：相似三角形的性质可用于有关角的计算，线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算，还可以用于证明两角相等，两条线段相等. 规律方法小结：运用转化思想把要求证得线段间的关系逐步转化为易证得线段间的关系，即由未知向已知转化.当两个三角形相似，但又没有指明对应点的情况时，应进行分类讨论. 2、相似三角形的性质2 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. （1）如图：若,它们的相似比是k,且AD⊥BC于点D,于点D,则. （2）如图：若,它们的相似比为k,且. （3）如图：若 知识拓展：（1）在应用此性知时，要注意找准对应线段； （2）相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中对应元素的顺序. 3、相似三角形的性质3 （1）相似三角形的周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知识拓展：（1）周长的比是相似比，面积的比是相似比的平方，不要与周长的比混淆. （2）等（同）高的三角形面积比等于底的比；等（同）底的三角形面积比等于高的比. 新课导读点拨：如果两个三角形相似，那么他们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.如果两个多边形相似，那么它们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方. 【例题精析】 类型一 相似三角形的性质1 例1：如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE=4，BC=12，AC=8，求AD的长． 【解析】解：解：∵△ADE∽△ACB，∴，∴，得：AD=． 【总结与反思】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键． 变式1：若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为( ) A．30° B．50° C．40° D．70° 【答案】C 【解析】解：∵∠A=30°，∠C=110°，∴∠B=40°， ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=40°， 故选：C． 变式2：如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是 A． 【答案】B 【解析】∵DE∥BC，∴选项A，C，D均正确；故选B． 类型二 相似三角形的性质2 例2：已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选A． 【总结与反思】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答． 变式：若与的相似比为1：4，则与的对应高之比为( ) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 【答案】C 【解析】解：∵与的相似比为1：4，∴与的对应高比为：1：4. 故选：C. 类型三 相似三角形的性质3 例3：两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（　　） A．52 B．54 C．56 D．58 【解析】解：∵两相似三角形的周长分别