数列的通项与求和-2022届高考数学一轮复习讲义

9.2 数列求通项与求和 【本节知识切片】 模块 题型拆分 难度 是否掌握 一．数列求通项 1.公式法 ★★☆☆☆ 2. 利用和的关系 ★★★☆☆ 3.累加法和累乘法 ★★★☆☆ 4.待定系数构造特殊数列 ★★★★☆ 二．数列求和 1.公式法 ★★☆☆☆ 2.裂项相消 ★★★☆☆ 3.错位相减 ★★★★☆ 4.分组分类 ★★★★☆ 【本节考情分析】 年份/考查形式 期中 期末 高考 选择题 1 填空题 1 1 解答题 1 1 考试中，考查形式多为选择填空题至少一道，大题必考一道，解答题常考数列的通项问题和求解前n项和问题，选择填空题中常考数列的公式以及性质运用，同时这也是考试中的易错题型。本部分从数列求通项及其前n项和的常规题型出发，重点讲解在不同的题型下对应的不同的方法，培养学生的逻辑思维能力和读题识题能力。 【教材正文】 模块一．数列求通项 【知识点】 1.公式法 等差数列： 等比数列： 2.累加法和累乘法 （1）形式： 利用累加法得到 （2）形式： 利用累乘法得到 3.利用和的关系 已知，利用来求 ，注意检验 4.待定系数构造特殊数列（根据学员程度适度讲解） （1），构造为等比数列 （2）,构造为等差数列 （3），再参照形式（1）构造等比数列 （4），构造为等比 （5）,构造为等比数列 5.取倒数法构造特殊数列（根据学员程度适度讲解） 先取倒数再构造等差或等比数列，形式如下： （1），构造为等差数列 （2），再参照待定系数法的形式（1）构造等比数列 【题型一：公式法】 ★☆☆例题1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.求{an}的通项公式； 解：(1)设{an}的公差为d， 由题意得3a1＋3d＝－15. 又a1＝－7，所以d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. ★☆☆练习1.已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，d>0， ∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴ ∴或 ∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7. ★☆☆例题2.已知等比数列{an}为递减数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析：设公比为q，由a＝a10， 得(a1q4)2＝a1·q9，即a1＝q. 又由2(an＋an＋2)＝5an＋1， 得2q2－5q＋2＝0， 解得q＝， 所以an＝a1·qn－1＝. 答案： ★☆☆练习1.公差不为零的等差数列中，成等比数列，求数列 的通项公式； 【答案】 【解析】等差数列 的通项公式为，有题意得 所以，解得，所以 ★★☆练习2.已知数列的通项公式为，在等差数列中，，又成等比数列，求数列的通项公式 【答案】 【解析】因为，所以，因为 又因为，设等差数列的公差为，所以 解得或，因为，所以， 【题型二：利用Sn和的关系】 ★☆☆例题1.(1)(2018·广州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________． (2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________. [解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列， ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. [答案]　(1)an＝　(2)－2n－1 ★☆☆练习1.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　) A．2n　　　　　　　　　　 　B．2n－1 C．2n D．2n－1 解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＝2n. ★☆☆练习2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________. 解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋