导数的概念、运算以及几何意义-2022届高考数学一轮复习讲义

5.1 导数的概念、运算以及几何意义 【本节知识切片】 模块 题型拆分 难度 是否掌握 一．导数的概念与运算 1.导数的概念 ★☆☆☆☆ 2.导数的运算法则以及常规、复合抽象函数求导 ★☆☆☆☆ 二．导数的几何意义 1.导数几何意义的理解 ★★☆☆☆ 2.在、过点求切线，公切线 ★★☆☆☆ 3.根据切线求参、求坐标、求直线倾斜角 ★★☆☆☆ 4.距离问题 ★★☆☆☆ 【本节考情分析】 年份/考查形式 期中 期末 高考 选择题 1 1 1 填空题 1 2 1 解答题 2 2 1 高三期中约6%，期末约8%，考查形式多为选择填空题，在解答题中往往作为单独的一问，要求在于准确求导并理解导数的几何意义。 高考中此知识点出现频率高，往往在选填中或者大题的第一问，2021山东高考第7题，2020山东高考22题第一问，考察难度较低。 【教材正文】 模块一．导数的概念与运算 【知识点】 1. 定义： （1）平均变化率和瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近变化量为时，函数值相应的变化量．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率． （2）函数的导数：“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作： “当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”． 函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作． 这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当时，”或“”． 2. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3. 导数的四则运算： 加减法则1 乘法法则2 除法法则3 4. 复合函数的导数（链式法则） 复合函数的求导法则：． 【题型一、导数的概念】 ★☆☆例题1．已知自由下落物体的运动方程是(的单位是，的单位是).求: （1）物体在到这段时间内的平均速度; （2）物体在时的瞬时速度. 答案：（1）；（2） 解析：（1） 物体在到这段时间内的位移改变量为， 平均速度 （2）瞬时速度为 ★☆☆练习1．质量为的物体作直线运动，运动距离关于时间的函数是，且物体的动能，则物体运动后第时的动能为（ ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 答案：D 解析： 因为距离关于时间的一次导数即速度，所以，在第时物体的瞬时速度为动能为. ★☆☆练习2．如果某物体做运动的方程为的直线运动（的单位为，的单位为）那么其在末的瞬时速度为（ ）． A． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：A 解析：物体运动在末的瞬时速度即为在处的导数， . ★☆☆例题2.（1）如果，则的值等于 ． （2）若，则 . 答案：（1）；（2） 解析：（1）， （2）， ★☆☆练习1．（1）如果，则的值等于 ． （2）若，则 ． 答案：（1）；（2） 解析：（1）， （2）. ★☆☆练习2． 若，则 答案： 解析：， . 【题型二、导数的运算】 ★☆☆（常规求导）例题1．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； . 答案：略 解析：(1). (2). (3). ★☆☆练习1．求下列函数的导函数. （1）； （2）; （3）； （4） 答案：略 解析：（1）； （2）; （3）； （4）. ★☆☆（复合求导）例题2. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：略 解析：（1）； （2）； （3）； （4）. ★☆☆练习1．求下列函数的导数 （1）； （2）; （3）； （4）. (5) 答案：略 解析：（1）； （2）； （3）； （4）. (5) . ★★☆（抽象函数求导）例题3. 已知函数，则________． 答案： 解析：首先左右两边求导数得：，代入， 解得：，再将代入导函数得：. ★★☆练习1．已