1.1.1 变化率问题-2021-2022学年高二数学理科选修系列精品教学课件 (人教A版)

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1. 什么叫函数的增量? 什么叫自变量的增量? 什么叫函数的平均变化率? 2. 函数的平均变化率的几何意义是什么? 学 习 要 点 看下面两个问题: 问题1. 人们在吹气球时, 当气球内的体积逐渐增加, 气球膨胀的半径变化如何? 每增加相同量的气体体积, 半径的增加量都相同吗? 怎样刻划体积变化对半径变化的影响情况? 问题2. 在高台跳水中, 运动员起跳后每一时刻的速度相同吗? 怎样计算某段时间内的平均速度? 这个平均速度能刻划运动员各时刻的运动状态吗? 看下面两个问题: 问题1. 人们在吹气球时, 当气球内的体积逐渐增加, 气球膨胀的半径变化如何? 每增加相同量的气体体积, 半径的增加量都相同吗? 怎样刻划体积变化对半径变化的影响情况? 根据球体积公式, 气球体积 V 与半径 r 的关系是 …… 半径增加量与体积增加量之比, 即为某区间内的平均增加量. 体积在各区间引起半径的变化情况是不同的. 看下面两个问题: 问题2. 在高台跳水中, 运动员起跳后每一时刻的速度相同吗? 怎样计算某段时间内的平均速度? 这个平均速度能刻划运动员各时刻的运动状态吗? 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后的时间 t (s) 存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 在 t1 到 t2 这段时间内的平均速度为 0≤t≤0.5 时, 0.5≤t≤1 时, 1≤t≤2 时, 各时段的平均速度不同, 各时刻的速度也不同. 以上两问题中的变化率都是形如 的表示式. 我们把这个式子称为函数 f(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. △f = f(x2)-f(x1). f(x2)-f(x1) 是函数 f(x) 对于 f(x1) 的一个增量, 习惯上用 △f 表示, 即 △x=x2-x1. 同样, x2-x1 是自变量 x 对于 x1 的一个增量, 习惯上用 △x 表示, 即 于是,