5.2导数运算(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2 导数运算 【知识目录】 1、 和与差的导数运算 2、 积的导数运算 3、 商的导数运算 4、 复合函数的导数运算 5、 求导技巧与解导数方程和不等式 6、 求导计算中求参数计算类 7、 求导运算与函数性质结合 典例分类精讲 · 一、和与差的导数运算 和与差的导数运算： 1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. 例：(3x2)′＝6x． 2．[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．例：(x3＋x2)′＝3x2＋2x． 【典型例题】 【例1】．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】 （1）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可； （2）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可； （3）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可； （1） 因为，所以； （2） 因为，所以； （3） 因为，所以 【例2】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】 由基本初等函数的导数结合导数的运算法则逐一求解即可 （1） 因为，所以； （2） 因为，所以； （3） 因为，所以 【例3】求下列函数的极值： （1）； （2）； （3）． 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】 利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算进行计算. （1） ，则 （2） ，，则 （3） ，则 【例4】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）（，且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（，且）． 【分析】 根据初等函数的导数公式和导数的四则运算，准确运算，即可求解. 【详解】 （1）根据导数的运算法则，可得； （2）由， 根据导数的运算法则，可得； （3）由，根据导数的运算法则，可得； （4）根据导数的运算法则，可得（，且）． 【例5】求下列函数的导函数. （1） （2） （3）， （4） 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）；【分析】 根据导数的四则运算法则，分别求解导数. 【详解】 （1）由，则； （2）由，则； （3）由，，则，； （4）由，则； 【例6】求下列函数的导函数. （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】 （1）由 运算即可； （2）由 运算即可； （3）由，结合运算即可； （4）由，结合运算即可； （5）由运算即可； · 二、积的导数运算 [u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．例：(xex)′＝ex＋xex． 【典型例题】 【例1】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】 根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. （1） 解：. （2） 解：. （3） 解：. 【例2】求下列函数的导数 （1） （2）； 【答案】 （1） （2） 【例3】求下列函数的导数 （1）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； （2）. 【答案】 （1）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11； 法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11； （2）因，所以. · 三、商的导数运算 ′＝[v(x)≠0]． 例：′＝． 【典型例题】 【例1】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】 根据导数的除法运算结合基本初等函数的导数公式即可求出答案. （1） 解：. （2） 解：. （3） 解：. 【例2】求下列函数的导数 （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）根据分式型函数的求导法则即可得解； （2）将函数看成乘积型，利用乘积型函数求导法则和复合函数求导法则即可得解. 【详解】 （1）； （2） 【例3】求下列函数的导数. （1） . （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】 （1）函数的导数：. （2）由，则 （3）由导数的除法运算法则，结合指数函数与三角函数求导公式可得 . · 四、复合函数的导数运算 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu·ux′