5.2.1基本初等函数的导数及导数的几何意义(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2.1 基本初等函数的导数及 导数的几何意义 【知识目录】 1、 基础函数的求导运算 2、 导数运算应用 3、 切线基础 4、 “在点切线”与“过点切线”（重点） 5、 切线应用：交点与零点（重点与难点） 6、 切线应用：距离、最值、恒成立（难点） 7、 多曲线的公切线（难点） 8、 高中联赛题选。 典例分类精讲 · 一、基础函数的求导运算 【典型例题】 【例1】已知，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】 利用基本初等函数的求导公式求解即得. 【详解】 因函数是关于x的常数函数， 所以. 故选：D 【例2】求下列函数的导数： （1）y=x-3； （2）y=3x； （3）y=log5x； （4）； （5）； （6）y=lnx； （7）y=ex. 【答案】答案见解析 【分析】 根据基本初等函数的求导公式一一求解即可. 【详解】 （1）y′=-3x-4. （2）y′=3xln3. （3）y′=. （4）y=sinx，y′=cosx. （5）y′=0. （6）y′=. （7）y′=ex. 【例3】求下列函数在给定点处的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1） （2）0 （3） 【分析】 利用基本函数的导数公式进行求解. （1） 解：因为，所以， 则. （2） 解：因为，所以， 则. （3） 解：因为，所以， 则. 【例4】求下列函数的导数. （1）y＝cos ；（2）y＝；（3）y＝； （4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos. 【答案】（1）0；（2）－5x－6；（3）；（4）；（5）；（6）cos x. 【分析】 直接利用求导公式计算即可 【详解】 （1）∵y＝cos＝，∴y′＝0. （2）∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6. （3）∵y＝＝＝，∴y′＝. （4）∵y＝lg x，∴y′＝. （5）∵y＝5x，∴y′＝5xln 5. （6）y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x. 【例5】求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】 根据基本初等函数函数的导数公式计算可得； （1） 解：因为，所以； （2） 解：因为，所以； （3） 解：因为，所以； （4） 解：因为，所以； （5） 解：因为，所以； （6） 解：因为，所以； · 二、导数运算应用 【典型例题】 【例1】已知函数的导数为，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】 先对函数求导，然后代值计算即可 【详解】 因为，所以.故选：A 【例2】若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 可设，结合求出的值，即可得解. 【详解】 因为，可设，则，解得， 因此，. 故选：B. 【例3】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（ ） A．4 B．－4 C．5 D．－5 【答案】A 【分析】 求出函数导数，根据已知即可求出. 【详解】 ∵，，解得a＝4. 故选：A. 【例4】已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出导数后，把 x=e代入，即可求解. 【详解】 因为，所以，解得． 故选：C 【例5】曲线与直线平行的切线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设切点为，利用导数的几何意义求出求点坐标，由斜率为即可得切线方程. 【详解】 由直线可得，直线的斜率为， 设切点为，， 由可得，，所以切点为， 所以切线方程为：，即， 故选：B. 【对点实战】 1.若，，则下列的值中满足条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求导，在令导函数等于，代入选项排除即可. 【详解】 ∵，∴．又∵，∴（）． 当时，，∴可取． 故选：A. 2.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由函数的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象切线斜率的变化情况，判断的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而得出结论． 【详解】 解：由函数的图象知，当时，单调递增，， 函数图象切线斜率逐渐增大，单调递增，，， ，，故选：A． · 三、切线基础 【典型例题】 【例1】下列说法不正确的是（ ） A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．曲线的切线和曲线可能有无数个交点 C．已知，则 D．函数在原点处的切线为轴 【答案】AC 【分析】 对选项A、B，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项C，这个错误很明显；对选项D，利用导数的几何意义求切线即可. 【详解】 对选项A，例