第7章 锐角三角函数（压轴题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（苏科版）

第7章 锐角三角函数压轴题专练 一、单选题 1．（2019·江苏苏州·一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，过D作DMBE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ②∵DEBM，BEDM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF=DC，故②正确； ③∵点E是AD边的中点， ∴S△DEF=S△ADF， ∵△AEF∽△CBF， ∴AF：CF=AE：BC=， ∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，故③正确； ④设AE=a，AB=b，则AD=2a， 由△BAE∽△ADC，有，即b=a， ∴tan∠CAD= =．故④正确； 故选A． 2．（2019·江苏泰兴·一模）如图，中，为的内心，,则的周长为（ ） A．6 B．5 C．4.8 D．4 【答案】B 【分析】先解直角三角形，求出AB＝5，连接IA、IB，利用三角形内心的性质得到∠1＝∠2，再证明∠2＝∠3得到DA＝DI，同理可得EI＝EB，所以△IDE的周长＝AB＝5． 【详解】解：∵∠C＝90°，，AC＝4， ∴BC＝3， ∴AB＝5， 连接IA、IB，如图， ∵I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB，即∠1＝∠2， ∵ID∥AC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴DA＝DI， 同理可得EI＝EB， ∴△IDE的周长＝ID＋DE＋IE＝DA＋DE＋EB＝AB＝5． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内心，解直角三角形，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质等，熟知三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 3．（2020·江苏江阴·模拟预测）如图，▱OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（ ） A． B．12 C． D．6 【答案】C 【分析】作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，设OA=a，根据题意得到OC=-a，解直角三角形表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到关于a的方程，解得a，求得A的坐标，即可求得k的值． 【详解】解：作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC，AB=OC，OA∥BC， ∴∠BCN=∠AOC=60°． 设OA=a，由▱OABC的周长为7， ∴OC=-a， ∵∠AOC=60°，， ， ∵M是BC的中点，BC=OA=a，∴CM=a， 又∠MCN=60°， ， ∴ON=OC+CN=， ， ∵点A，M都在反比例函数的图象上， ，解得a=2， ， ． 故选：C． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是列出方程求出a的值． 4．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB=∠ANC=60°，由直角三角形的性质可求∠AEN=30°，EO= ON=6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E， ∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形， ∴AM=AN，AB=AC，∠MAN=∠BAC，∠AMN=60°=∠ANM， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△ANC≌△AMB（SAS）， ∴∠AMB=∠ANC=60°， ∴∠ENO=60°， ∵AO=6，∠AMB=60°，AO⊥BO， ∴MO=NO= ∵∠ENO=60°，∠EON=90°， ∴∠AEN=30°，EO=ON=6， ∴点C在EN上移动， ∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值， 此时，O'C=EO=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，锐角三角函数，确定点C的运动轨迹是解题的关键． 5．（2020·江苏·常