4.1.2乘法公式与全概率公式-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.2 乘法公式与全概率公式 知识梳理 一.乘法公式： 由条件概率的计算公式P(B|A)=可知P(AB)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式. 二.全概率公式: 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的, 且B=BΩ=B(A+)=BA+B,从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B). 更进一步,当P(A)>0且P()>0时, 因为由乘法公式有P(BA)=P(A)P(B|A),P(B)=P()P(B|), 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).这称为全概率公式. 定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足 (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn， 且P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 上述公式也称为全概率公式. 常见考点 考点一 乘法公式与全概率公式 典例1．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知可求出，再由即可求出. 【详解】 ， 由，得. 故选：B. 变式1-1．某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是___________. 【答案】0.12 【分析】 根据题意利用概率公式即可求出. 【详解】 设表示第次扔向地面椰子没有摔裂，，2，则，， 因此，. 故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12. 故答案为：0.12. 变式1-2．分别在下列各条件下，求： （1）； （2）． 【答案】 （1）， （2）， 【分析】 （1）由全概率公式结合条件概率的公式与对立事件的概率公式求解即可； （2）由全概率公式结合条件概率的公式对立事件的概率公式求解即可； （1） 因为 所以， 由， 可得， 所以； （2） 因为 所以， 由， 可得， 所以； 变式1-3．已知，求． 【答案】 【分析】 由全概率公式直接计算即可 【详解】 由， 故 考点二 全概率公式的应用 典例2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2 【答案】A 【分析】 利用条件概率公式即可求解. 【详解】 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的， B表示取得的X光片为次品， P=，P=，P=， P=，P=，P=； 则由全概率公式， 所求概率为P=P+P+P =×+×+×=0.08. 故选：A 变式2-1．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3， ∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi) ＝×＋×＋×＝. 变式2-2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ） A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 【答案】C 【详解】 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. 变式2-3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ） A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003 【答案】A 【分析】 设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解 【详