6.1.4数乘向量-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第六章 平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.4数乘向量 知识梳理 一．数乘向量 1. 数乘向量的定义 一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中： （1)当且时，的模为,而且的方向如下： ①当时，与的方向相同； ②当时，与的方向相反． （2)当或时，. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。 由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即. 当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出. 2.向量平行 如果存在实数，使得，则。 3.三点共线 一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。 常见考点 考点一 向量数乘有关的计算 典例1．设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是 A．与的方向相同 B．与的方向相反 C．与的方向相同 D． 变式1-1．设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 变式1-2．设是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有（ ） ①与方向相反；②；③与方向相同；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3．已知实数和向量有下列说法： ①；②； ③若，则； ④若，则. 其中，正确的说法是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 考点二 向量数乘几何应用 典例2．若，则下列各式中不正确的是（ ）． A． B． C． D． 变式2-1．已知，设，则（ ）． A． B． C． D． 变式2-2．若，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 巩固练习 练习一 向量数乘有关的计算 1．已知向量，，实数，（，），则下列关于向量的运算错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 4．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D．若，则 练习二 向量数乘的几何应用 5．直线上一点满足，若，则实数的值为 A． B． C． D．或 6．若是直线上的一点，且，则当时，点的位置（ ） A．在线段上 B．在线段的延长线上 C．在线段的延长线上 D．不能确定 7．若，则下列各式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ） A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第六章 平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.4数乘向量 知识梳理 一．数乘向量 1. 数乘向量的定义 一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中： （1)当且时，的模为,而且的方向如下： ①当时，与的方向相同； ②当时，与的方向相反． （2)当或时，. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。 由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即. 当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出. 2.向量平行 如果存在实数，使得，则。 3.三点共线 一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。 常见考点 考点一 向量数乘有关的计算 典例1．设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是 A．与的方向相同 B．与的方向相反 C．与的方向相同 D． 【答案】C 【分析】 根据向量的数乘运算，可直接得出结果. 【详解】 只有当时，才有与的方向相同，与的方向相反，且.因为，所以与的方向相同. 故选C 【点睛】 本题主要考查向量的数乘，熟记概念即可，属于基础题型. 变式1-1．设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量共线的概念以及向量的模长公式，对题目中的选