必考点17 角与弧度-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点17 角与弧度 题型一 任意角 例题1喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是（ ） A． B． C． D． 【思路分析】分针60分钟走一圈→计算出分针1分钟走的度数→计算出分针10分钟走的度数→注意角度的正负． 【答案】D 【解析】利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又周角为，所以有， 即分针走过的角度是．故选D． 【解题技巧提炼】 引入任意角的概念后需要注意： （1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． （2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置． （3）角的范围不再限于． （4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． （5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负． （6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”． （7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为． 题型二 象限角 例题1给出下列四个命题： ①角是第四象限角； ②角是第三象限角； ③角是第二象限角； ④角是第一象限角； ⑤角是第四象限角． 其中正确的命题的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路分析】把已知角写成→用象限角的概念判断. 【答案】C 【解析】利用象限角的概念来判断． 先把已知角写成的形式，再判断是第几象限角， 从而确定是第几象限角．所以①②③④都对． 的角的终边在轴的非正半轴上， 所以角不是第四象限角．因此⑤是不正确的． 所以正确的命题的个数是4．故选C． 【解题技巧提炼】 1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角． 2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角． 题型三 终边相同的角 例题1已知． （1）把写成，的形式，并指出它是第几象限角； （2）求，使与的终边相同，且． 【思路分析】用所给角除以，将余数作为即可．注意负角除以时，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值． 【解析】（1）∵余， ∴， ∴相应的，是第三象限角． ∴是第三象限角． （2）令， 取，， 则，． ∴与的终边相同，且适合的角为角，角． 【解题技巧提炼】 1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．象限角的分类及表示方法如下： 象限角 集合的表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合． 如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得． 若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合． 题型四 角度与弧度之间的互化 例题11．将下列角度与弧度进行互化： （1）；（2）；（3）；（4）． 【思路分析】利用公式1°＝ rad或1 rad＝进行换算． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解题技巧提炼】 1．将角度化为弧度 rad；rad；rad． 2．将弧度化为角度 ；；． 3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值 度 弧度 0 【说明】（1）以弧度