必考点13 函数的奇偶性-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点13 函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的判断 例题1判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， 所以f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 【解题技巧提炼】 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数. 题型二 奇偶函数的图象及应用 例题1已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 【解析】(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)． 【解题技巧提炼】 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性； (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象； (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 奇偶函数图象的应用类型及处理策略 1.类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． 2.策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型三 利用函数的奇偶性求值 例题1已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 【答案】B 【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21. 【解题技巧提炼】 由函数的奇偶性求参数应关注两点 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 题型四 利用奇偶性求函数的解析式 例题1若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 故f(x)＝ 例题2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 【解析】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝. 【解题技巧提炼】 利用函数奇偶性求解析式的方法 （1） “求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. （2）要利用已知区间的解析式进行代入. （3）利用f(x)的奇偶性写出f(－x)或－f(x)，从而解出f(x). 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 题型五 利用函数单调性和奇偶性比较大小 例题1若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A.<f(－1)<