高中数学专题知识框架及应用结构图（彩色版）-05平面向量和解三角形基本知识总结

线性关系 坐标关系 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量运算 加 法 “平行四边形法则”和“三角形法则” a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减 法 “三角形法则” a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数 乘 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb λa＝(λx1，λy1) 相等向量 长度相等，方向相同 x1＝x2，y1＝y2 平行向量 a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0 垂直向量 a∙b＝0 x1x2＋y1y2＝0 向量的数量积 a∙b＝|a| |b|cos θ a∙b＝x1x2＋y1y2 向量模公式 |a|＝o\al(2,1) EQ \R(,x＋yeq \o\al(2,1)) 向量夹角公式 cos θ＝ EQ \F(a∙b,|a| |b|) cos θ＝o\al(2,1)EQ \R(,x EQ \F(x1x2＋y1y2,＋yeq \o\al(2,1)) o\al(2,2) EQ \R(,x＋yeq \o\al(2,2)) ) 三、解三角形的多解分析 已知两边和其中一边的对角解三角形时，应分析解的情况：如已知a，b，A，则 当A为锐角时 当A为钝角或直角时 图 示 关 系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的情况 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一、正弦定理和余弦定理 正弦定理 余弦定理 内容 EQ \F(a,sin A)＝ EQ \F(b,sin B)＝ EQ \F(c,sin C)＝k a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 ①a:b:c＝sin A:sin B:sin C ②a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C ③sin A＝ EQ \F(a,k)，sin B＝ EQ \F(b,k)，sin C＝ EQ \F(c,k) cos A＝ EQ \F(b2＋c2－a2,2bc) cos B＝ EQ \F(a2＋c2－b2,2ac) cos C＝ EQ \F(a2＋b2－c2,2ab) 应用 （1）已知两角和一边，求解三角形； （2）已知两边和对角，求解三角形. （3）已知两边和夹角，求解三角形； （4）已知三边，求解三角形. 二、解三角形的四种模型 ⑴已知两角和一边(A，B，b)求解三角形 步骤：①C＝180°－(A＋B)； ②用正弦定理a＝ EQ \F(b sin A,sin B)； ③用正弦定理b＝ EQ \F(c sin B,sin C). ⑶已知两边和夹角(a，b，C)求解三角形 步骤：①用余弦定理c＝ EQ \R(,a2＋b2－2abcos C)； ②用正弦定理求a，b中较小边所对锐角； ③用内角和定理求第三角. ⑵已知两边和对角(a，b，A)求解三角形 步骤：①先判定解的情况； ②用正弦定理sin B＝ EQ \F(b,a)sin A； ③C＝180°－(A＋B)； ④用正弦定理c＝ EQ \F(a sin C,sin A). ⑷已知三边(a，b，c)求解三角形 步骤：①用余弦定理求最大边所对的角； ②用正弦定理求出一个锐角； ③用内角和定理求第三角. $$