第6章 图形的相似（压轴题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（苏科版）

第6章 图形的相似压轴题专练 一、单选题 1．（2020·江苏·南通市八一中学九年级月考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 【详解】解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF=BC=2， 在Rt,AF=， ∵D是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得CD=， 同理BE=， ∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-， ∴DE=CD-CE=4-8， ∴S△ABC===， 故选：A. 【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。 2．（2020·江苏·江阴市青阳初级中学九年级月考）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】D 【分析】此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得． 【详解】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况： 一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能： ①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD， 则（x﹣2）：3＝4：（x+2） 解得x＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，0）； ②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD， 则（x﹣2）：（x+2）＝4：3 解得：x＝﹣14 不存在． 二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能： ①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD， ∴4：3＝（x+2）：（2﹣x） 解得：x＝， ∴点P的坐标为（，0）； ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD， ∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3， 方程无解； 三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能： ①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD， ∴4：3＝（2+x）：（x﹣2）， ∴x＝14， ∴点P的坐标为（14，0）， ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD， ∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3， ∴x＝4， ∴点P的坐标为（4，0）； ∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解． 3．（2020·江苏·无锡市凤翔实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，点A（1，0）、B（5，0）．连接AC，以 AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质，过点D作DE⊥AC于点E，利用“K”型相似可得△CFE∽△EGD，由此表示出点D的坐标，利用勾股定理表示出线段BD的长，再利用配方法求求值即可得出BD的最小值． 【详解】如图, 过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H,过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G， 设点C的坐标为， ∵△ACD为等边三角形,则点E为AC的中点,则点E,AE=CE=ED， ∵∠CEF+∠FCE=90°,∠CEF+∠DEG=90°， ∴∠DEG=∠ECF， ∴△CFE∽△EGD， ∴,其中EF= ,CF=， 解得：，，故点， ， 当时，BD最小，BD最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题属于线段最值问题，构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示出点D的坐标是解决本题的关键． 4．（2021·江苏·常州市第二十四中学一模）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正