第05讲 实数与二次根式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第05讲 实数与二次根式知识点梳理 考点01 平方根 一、平方根 1.平方根的概念：如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的平方根（或二次方根）。 2.平方根的表示方法：正数 的平方根可记作 ，读作：正负根号 ， 读作根号， 是被开方数。 3.平方根的性质：若 ，那么 ，则 也是 的平方根，所以正数 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即 ）。 二、算数平方根 1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫作 的算术平方根。 2.算术平方根的表示方法：正数 的算术平方根可记作 ，读作：根号 。 3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。一个正数 的正的平方根就是它的算术平方根。 三、开平方 1.求一个数 （ ）的平方根的运算叫作开平方，其中 叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幂求底数。 2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。 3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。 考点02 立方根 1.立方根的概念：一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的立方根（或三次方根）。 2.立方根的表示方法： 的立方根可记作 ，读作：三次根号 ，其中“3”是根指数， 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。 3.立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）0的立方根是0； 4.开立方：求一个数 的立方根的运算叫作开立方。 5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。 6.立方根的化简公式：（1） ；（2） ；（3） 。 考点03 实数 一、无理数 1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.有理数与无理数的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数； （2）任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能化成分数形式； 3.无理数近似值的估算方法：估算无理数的近似值通常用“夹逼法”，第一步：先确定被估算无理数的整数取值范围；第二步：以较小整数逐步开始加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，以此类推下去可以求出无理数的近似值。 4.无理数的常见类型： （1）特点结构的数。如0.2020020002……是无理数； （2）圆周率 以及含 的数； （3）开方开不尽的数的方根； 二、实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类： 2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 （1）相反数：实数 的相反数是 ，0的相反数是0； （2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； （3）实数 的绝对值可表示为 ，即 的绝对值一定是一个非负数； （4）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即如果 与 互为倒数，则 ；反之，如果 ，则 与 互为倒数，0没有倒数。 （5）实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则。正实数大于0，负实数小于0，正数大于一切非负实数。两个负实数，绝对值大的反而小。数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 6.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。 7.实数的运算： （1）运算法则、运算率：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 （2）运算顺序：在进行实数的混合运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，开方，在算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。 考点04 二次根式 一、二次根式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。其中，“ ”叫作二次根号， 叫作被开方数。 2. 是二次根式有意义的条件。 二、二次根式的性质： （1） 是一个非负数； 既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。 （2） （ ）； （3） ； （4） 的前提条件是 ，而 中的 为一切实数； ， ， 是三个重要的非负数。 考点05 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即 。 2.积的算术平方根的性质： （1） ； （2）用语言描述：积的算术平