5.1.1变化率问题(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1.1 变化率问题 【知识目录】 1、 平均变化率 2、 瞬时速度 3、 导数概念中的极限计算 4、 导函数 5、 切线与导数 6、 变化率的应用 典例分类精讲 · 一、平均变化率 【典型例题】 【例1】函数在到之间的平均变化率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意结合平均变化率的概念计算出当、时的取值，再由即可得解. 【详解】 当时，；当时，； 所以函数在到之间的平均变化率为. 故选：C. 【例2】．某质点沿曲线运动的方程为（表示时间，表示位移），则该质点从到的平均速度为（ ） A．-4 B．-8 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】 直接代入平均速度的公式计算求解. 【详解】 由题得该质点从到的平均速度为. 故选：D 【例3】函数在到之间的平均变化率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接代入平均变化率公式即得解. 【详解】 , 所以.故选：B 【例4】某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运行前秒的平均速度为（ ）（米/秒） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前秒的平均速度为，进而可求得结果. 【详解】 ，因此，该物体在运行前秒的平均速度为（米/秒）. 故选：C. 【例5】若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（ ） A． B．3 C．5 D．16 【答案】B 【分析】 根据平均变化率为计算，即可得出结果. 【详解】 因为，所以.故选：B. 【例6】若函数由至的平均变化率的取值范围是，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 计算出函数由至的平均变化率关于的表达式，再由可解出的取值范围. 【详解】 由至时，， 函数由至的平均变化率为， ，，故选B. 【例7】对于函数，当时，的值是 A．2018 B．-2018 C．0 D．不能确定 【答案】D 【分析】 设可得，从而可得结果. 【详解】 设 则， 因为不确定，所以的值不确定，故选D. 【例8】函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】A 【分析】 根据平均变化率的定义计算比较即可. 【详解】 ，，故.故选：A. 【例9】函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据定义求解即可. 【详解】 解：由变化率的关系，.故选：D． 【对点实战】 1.函数在区间上的平均变化率为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 直接利用平均变化率公式进行求值. 【详解】 因为， 所以在区间上的平均变化率为. 故选：B 2.函数在区间上的平均变化率为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】 故选：B 3.函数在[0，π]上的平均变化率为 A．1 B．2 C．π D． 【答案】C 【分析】 根据平均变化率的公式，计算出平均变化率. 【详解】 平均变化率为.故选：C 4.函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】 根据题意，求出函数在间上的平均变化率，解方程即可得答案． 【详解】 解;由已知得，∴，∴，故选B. 5.已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由变化率可得出，代入计算即可. 【详解】 ，，故选C. 6.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 【答案】B 【分析】 根据，代入数据计算即可． 【详解】 解： 故选B． 7.函数从到的平均变化率为 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】 先计算函数值的增量，和自变量的增量，两者相除求得平均变化率. 【详解】 由题意知函数从到的增量为 ，∴从到的平均变化率为，故选B． 8.在平均变化率的定义中，自变量的改变量的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据平均变化率的定义得解. 【详解】 由定义知可正、可负但不能为零．故答案为C · 二、瞬时速度 【典型例题】 【例1】如果质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用导数的定义可计算得出质点在处的瞬时速度. 【详解】 ， 所以，当时，质点的瞬时速度为.故选：B. 【例2】已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（ ） A．