4.4数学归纳法(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3 数学归纳法 【知识目录】 1、 归纳过程中的增减项 2、 归纳法：归纳、猜想、证明 3、 数归法求通项公式 4、 数归法证明不等式 5、 实际应用题中的数归法 典例分类精讲 · 一、归纳过程中的增减项 理解数学归纳法的证明原理和证明过程。 1. “指数”形式的左右两边增减项，如例题1 2. 多项式形式的增减，注意左边起点项和终点项的变化，如例题2 3. 整除形式，注意余项的变化，如例题3，稍微难点 4. 实际应用型，注意验证起点项要结合实际意义，如例题4 5. 分式型，起点项会出现漏项，如例题5 6. 验证首项，必须出归纳对应的一般规律，防止“惯性思维”产生错觉，这类题的重点题型如例题10 【典型例题】 【例1】．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（ ） A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 【答案】D 【分析】 写出与时左边的式子，对比即可求解 【详解】 由题意知：时，左边为， 当时，左边为， 增加项为：共项. 故选：D 【例2】用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果. 【详解】 由题意有，假设时，成立，则 当时， 左边 右边∴由数学归纳法可知上式成立 ∴显然等式两边需同乘故选：D. 【例3】用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 假设时命题成立，即能被9整除，计算当时，，即可得解. 【详解】 解：假设时命题成立，即能被9整除， 当时， 能被9整除 要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除 故选： 【例4】在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】 因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C. 【思路点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的. 【例5】利用数学归纳法证明…且）时，第二步由到时不等式左端的变化是（　　） A．增加了这一项 B．增加了和两项 C．增加了和两项，同时减少了这一项 D．以上都不对 【答案】C 【详解】 当时，左端，那么当时 左端，故第二步由到时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选C. 【例6】某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ） A．当时，命题不成立 B．当时，命题可能成立 C．当时，命题不成立 D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立 【答案】AD 【分析】 利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答. 【详解】 如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确； 如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确； 当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确. 故选：AD 【例7】用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ） A．假设时命题成立 B．假设时命题成立 C．假设时命题成立 D．假设时命题成立 【答案】C 【分析】 依题意根据数学归纳法证明判断即可； 【详解】 解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后， 归纳假设应写成：假设时命题成立． 故选：C． 【例8】用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可． 【详解】 从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是， 故选A. 【例9】已知，用数学归纳法证明时，有______． 【答案】 【分析】 根据题意可知，假设，代入可得到，当时，，两式相减，化简即可求解出结果． 【详解】 由题可知，， ， 所以． 故答案为． 【例10】用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分别验证当取、、、、时，不等式是否成立，找到第一使得成立时对应的的取