4.3.2等比数列的前n项和(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.2 等比数列的前n项和 【知识目录】 1、 等比数列的前n项和 2、 等比数列求和与错位相消法 3、 前n项和中的最值与范围 4、 求和扩展：前n项积的应用 5、 几种数列求和 6、 高中联赛题选。 典例分类精讲 · 一、等比数列的前n项和 【典型例题】 【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝（ ） A．1或－1 B．1 C．－1 D． 【答案】A 【详解】 由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1. 【例2】等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ） A．2n－1 B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据已知a2＝1， q2＝4，再利用等比数列求和公式解答. 【详解】 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4， 所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝. 故选：B 【例3】等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．10 B．70 C．30 D．90 【答案】B 【分析】 根据等差数列前项和的性质来求得. 【详解】 由等比数列的性质可得，，，成等比数列∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20） ∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70故选：B. 【例4】已知等比数列中，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案. 【详解】 由题意，等比数列中，，可得，解得， 所以.故选：A. 【例5】数列1，，，…，，…的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求出等比数列通项公式，再利用等比数列的求和公式求和即可. 【详解】 设此数列的第项为， 则， 所以数列的前项和为． 故选：B 【例6】数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】 利用算出通项，再结合该数列为等比数列可求. 【详解】 因为，故，因为为等比数列，故即，故， 此时即，即为等比数列.故选：D. 【例7】已知数列的前项和为，若，则（ ） A．8 B．-8 C．64 D．-64 【答案】D 【分析】 可写出时，满足，与相减得到关于的递推公式，由是等比数列求解. 【详解】 当时，，解得；当时，， 两式相减得，即，∴ ， ∴ ， 故选：D. 【例8】设等比数列的前项和为，若，则 A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 根据等比数列前项和为带入即可． 【详解】 当时，不成立．当时 ， 则,选择C 【例9】已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于 A．100 B．90 C．60 D．40 【答案】B 【详解】 ∵， ∴， ∴．选B． 【例10】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】 由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 【对点实战】 1.若递增的等比数列的前n项和为，，则等于（ ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A 【分析】 设等比数列公比为q，则由已知可得，再结合递增数列求出的值，从而可求出 【详解】 设等比数列公比为q，由得， 所以，或，因为数列递增且，所以，所以．故选：A． 2.若，则S=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意可得为数列前项和，利用等比数列前项和公式即可得解. 【详解】 根据题意为数列前项和， 而为等比数列，所以，故选：B. 3.一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）． A．83 B．108 C．75 D．63 【答案】D 【分析】 根据等比数列前项和的性质可求前项的和. 【详解】 设等比数列前项和为， 因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列， 故，故， 故选：D. 4.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先由等比数列的性质求出，再令可得，即可求出公比，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 设等比数列的公比为， 由等比数列的性质可得：，解得， 在中，令可得， 解得：，所以， 所以， 故选：D 5.在等比