专题49 离散型随机变量及其均值方差-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题49离散型随机变量的分布列及其均值方差--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，并能解决一些简单的实际问题. 二、教学建议 （1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质； （2）离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式． 三、必备知识 1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量. 2. 分布列的两个性质 ①，；②. 3．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 4．均值 (1)若离散型随机变量X的概率分布为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望． (2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)均值的性质 E(c)＝c，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，c为常数)． 5．方差 (1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称： V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差． (2)σ＝，叫标准差． (3)方差的性质 a，b为常数，则V(aX＋b)＝a2V(X)． 四、高频考点+重点题型 考点一.概率分布的求法 例1-1.随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球． 若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列． 【详解】X的取值范围为， 则，，． 所以总得分X的分布列为： X 0 1 2 P 例1-2.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的概率分布． 解　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 例1-3.（2020·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 求：（1）的分布列； （2）求的值. 【答案】（1）见解析；（2）0.7 【解析】 由分布列的性质知：，解得 （1）由题意可知 ，， ， 所以的分布列为： 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2） 例1-4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； 【答案】(1)见解析. 【解析】 （1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ，，. 因此的分布列为 0.2 0.4 0.4 对点练1、在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的