5.3.2.1 函数的极值-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 第五章：一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.2.1　函数的极值 【考点梳理】 知识点一　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点二　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【题型归纳】 题型一：求函数的极值 1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的极值． （1） ；（2） ；（3） ． 2．（2021·江苏·高二课时练习）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. （1）求常数a，b，c的值； （2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 3．（2021·全国·高二专题练习）设函数 ， . (1)求函数 的单调区间和极值； (2)若函数 的图象与函数 的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围． 题型二：由极值求参数 4．（2021·江苏·高二课时练习）已知函数 既存在极大值，又存在极小值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中（文））函数 在 处有极值10，则a，b的值为（ ） A． ， ，或 ， B． ， ，或 ， C． ， D． ， 6．（2021·河南商丘·高二期末（理））若函数 没有极值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：由极值点求参数的值或取值范围 7．（2021·全国·高二单元测试）函数 在 内存在极值点，则（ ） A． B． C． 或 D． 或 8．（2021·安徽·六安一中高二月考（理））若 ， ，且函数 在 处取得极值，则 的最大值为（ ） A．9 B．6 C．3 D．2 9．（2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末）设 ，若 在 处取得极小值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：导数（导函数）与极值或极值点的关系 10．（2021·北京丰台·高二期中）已知函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． 没有极大值 C． 时， 有极大值 D． 时， 有极小值 11．（2021·江苏·高二课时练习）函数f(x)的定义域为R，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（ ） A．在(1，2)上函数f(x)为增函数 B．在(3，4)上函数f(x)为减函数 C．在(1，3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 12．（2021·全国·高二课时练习）函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：利用函数极值解决函数零点(方程根)问题 13．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知函数 . （1）求 的极值； （2）若函数 有且只有一个零点，试求实数 的取值范围. 14．（2021·江苏·高二课时练习）设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. （1）求f(x)的极值点； （2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围； （3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围. 15．（2021·江苏·丰县宋楼中学高二期中）设 为实数，函数 （1）求函数 的极值与单调增区间； （2）若曲线 与 轴仅有且只有一个交点，