第3讲 二项式定理（讲义）-新教材高中数学选择性必修第三册【教师免备课】同步训练（2019人教A版)

第3讲 二项式定理 1.掌握二项式定理和二项式定理的系数特征. 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题. 1.灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质是重点. 2.灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题是难点. 3.二项式公式要熟练，尤其是展开式、通项公式、二项式系数的性质. 二项式定理 　　. 　　这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数.二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：. 注意：（1）指的是第项，是第项的二项式的系数. 　　　（2）与相同，但具体到它们展开式的某一项却是不同的，所以公式中的与位置不能颠倒. 例1.求的展开式. 【答案】 【解析】 练习1.的近似值（精确到0.001）是________ 【答案】 【解析】 对二项式要先有一个宏观的认识.了解构成二项式的基本元素. 例2.在的展开式中的系数是（ ） A. -14 　　　 B. 14 　　 C. -28 　　 D. 28 【答案】B 【解析】对于多项展开式中的某一项的总数的寻求，“化整为零”是基本方法之一， ==，又的展开式中的系数为，的系数为，所以原展开式中的系数为，应选B. 练习1.设则的展开式中的的系数不可能是（ ） A. 10 B. 40 C. 50 D. 80 【答案】C 【解析】立足于二项展开式的通项公式:.当时，，的系数为；当时，，的系数为；当时，，的系数为；当时，，的系数为.综上可知，选C. 练习2.求的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数. 【答案】第4项的系数是280，第4项的二项式系数是35. 【解析】的二项展开式第4项为，所以第4项的二项式系数为，第4项的系数为 根据定义辨析与判断是本部分的难点.要结合定义，逐个突破. 二项式系数的性质 1. 对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即. 2. 增减性：当时，二项式系数逐渐增大；当，二项式系数逐渐减小. 3. 最大值：当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值为；当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为和. 4.各二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即；二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即. 例3.已知的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 　　　　 B. 　　　 C. 　　　　 D. 【答案】D 【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数分别为和，得；从而有； 又因为，所以奇数项的二项式系数和为. 练习1.展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A. 180 　　　 B. 90 　　　　　 C. 45 　　　 D. 360 【答案】A 【解析】由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故， 故展开式的通项公式为，令，求得， 所以展开式中的常数项是，故选A. 在二项展开式的通项公式中，求展开式中的常数项，求某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题，应该熟悉掌握. 例4.已知，求： （1） 的值； （2） 及的值； （3） 二项式系数和. 【答案】（1）-1（2）1093，-1094（3）128 【解析】（1）令，则. （2）令，则；令，则； 于是，，. （3）二项式系数和为. 练习1. 在的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和； （3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）的奇次项系数和与的偶次项系数和. 【答案】（1）（2）1（3），（4），（5）， 【解析】设，（*）各项系数和即为，奇数项系数和为，偶数项系数和为 ，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1） 二项式系数和为. （2） 令，各项系数和为. （3） 奇数项的二项式系数和为 ；偶数项的二项式系数和为. （4） 令，得到；①令，得②；①+②得，所以奇数项的系数和为；①-②得，所以偶数项的系数和为. （5） 的奇次项系数和为；的偶次项系数和为. “赋值法”普遍适用于恒等式，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，是一种重要的方法. 二项式定理的应用 1. 利用二项式定理求代数式的值 2. 利用二项式定理求二项式中特定项及其系数 3. 利用二项式定理求展开式中某些项系