第6讲 数列前n项和的几种求法（数列章末提升）（情景导入）-新教材高中数学选择性必修第二册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

( 第 6 讲 数列前 项和的几种方法 ) (第一种方式) 关于数列求和的小故事？ 根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情． 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宗师，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求。然而等到麦子成熟时，国王才发现，按照与宗师的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一半的格子数目都不够．这位宗师索要的麦粒数目实际上是天文数字。 (第二种方式) 数列求和的发展史 等比数列源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年——前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7，49，343，2401，16807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜．2000多年中无人能解释． 直到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题：今有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？显然这是一个等比数列的求和问题．由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然这仅仅是推测．我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，维有九毛，毛有九色，问各几何？ $