专题03 等腰（边）三角形-2021-2022学年八年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（人教版）

等腰（等边）三角形 1．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，AD=AE． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点E在AC的垂直平分线上，当时，直接写出图中所有的等腰三角形（不包括）． 【答案】（1）见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【分析】 （1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，AB=AC，根据三线合一的性质，可得∠DAF=∠EAF，∠BAF=∠CAF，两式相减结论即可证明； （2）根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】 解：（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴∠DAF=∠EAF， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴∠BAF=∠CAF， ∴∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF， 即∠BAD=∠CAE； （2）∵点E在AC的垂直平分线上， ∴AE=CE， ∴∠CAE=∠C=36°， ∴∠BAD=∠CAE=36°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=36°， ∴∠BAD=∠CAE=∠B=∠C=36°， ∴BD=AD=AE=EC，∠BEA=∠ADE=∠BAE=∠DAC=72°， ∴AB=AC=BE=CD， ∴图中所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的运用． 2．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在的BD延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC． （1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF； （2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连AM． ①求证：是等边三角形； ②求证：AF+EF=FB． （3）如图3，当∠ABC=45°，延长BA、CF交于N，且AE∥BC时，求证：BD=2EF． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）见解析 【分析】 （1）利用SAS定理证明△ACF≌△AEF，根据全等三角形的性质得到∠E=∠ACF，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ABE，等量代换证明结论； （2）①证明△ABM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AM=AF，∠BAM=∠CAF，进而证明△AMF为等边三角形； ②结合图形即可证明结论； （3）证明△BFN≌△BFC，得到CN=2CF=2EF，再证明△BAD≌△CAN，得到BD=CN，等量代换得到答案． 【详解】 证明：（1）∵AF平分∠CAE， ∴∠EAF=∠CAF， ∵AB=AC，AB=AE， ∴AE=AC， 在△ACF和△AEF中， ， ∴△ACF≌△AEF（SAS）， ∴∠E=∠ACF， ∵AB=AE， ∴∠E=∠ABE， ∴∠ABE=∠ACF； （2）①∵△ACF≌△AEF， ∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM， 在△ABM和△ACF中， ， ∴△ABM≌△ACF（SAS）， ∴AM=AF，∠BAM=∠CAF， ∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°， ∵AM=AF， ∴△AMF为等边三角形， ②∵△AMF为等边三角形， ∴AF=AM=MF， ∴AF+EF=BM+MF=FB； （3）∵AE∥BC， ∴∠E=∠EBC， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠E， ∴∠ABF=∠CBF， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°， ∴∠ACF=∠ABF=22.5°， ∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°， ∴∠BFN=∠BFC=90°， 在△BFN和△BFC中， ， ∴△BFN≌△BFC（ASA）， ∴CF=FN，即CN=2CF=2EF， ∵∠BAC=90°， ∴∠NAC=∠BAD=90°， 在△BAD和△CAN中， ， ∴△BAD≌△CAN（ASA）， ∴BD=CN， ∴BD=2EF． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【分析】 （1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【