第7讲 函数的单调性（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第7讲 函数的单调性 1.理解函数单调性的定义 2.掌握单调性的判断方法 3.掌握单调性的简单应用 1.函数的单调性贯穿整个高中数学 2.复合函数的单调性是单调性的重点考察对象 3.函数的值域问题、最值问题都可以转化为函数的单调性问题 函数单调性的定义 1.定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 3.定义变式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 例1. 对于函数y＝f（x），在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则y＝f（x）（　　） A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 【答案】D 【解析】由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 故选D． 练习1. ．函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有　　（填序号）． 【答案】④ 【解析】①y＝|x|＝，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减； ②y＝，所以该函数在（﹣∞，0）上是常数函数，不具有单调性； ③，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减； ④y＝x＋，所以该函数在（﹣∞，0）上为增函数； ∴在（﹣∞，0）上为增函数的有④． 故答案为：④． 练习2. 下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的　 　． ①；②y＝1﹣x2；③y＝x2＋x；④． 【答案】④ 【解析】①＝1﹣，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故不符合题意； ②y＝1﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，故不符合题意； ③y＝x2＋x开口向上，对称轴为x＝，在（﹣∞，﹣）上单调递减，（，＋∞）上单调递增，故不符合题意； ④，定义域为（﹣∞，1），在（﹣∞，1）上单调递减，故正确 故答案为：④ 利用定义判断函数的单调性，根据“同增异减”，常见函数的单调性，可以利用图象法. 例2. 函数y＝|x|的单调递增区间为　 　． 【答案】（0，＋∞） 【解析】函数y＝|x|的零点为x＝0， 其图象如下， 通过图象可知，函数单调递增区间为（0，＋∞）． 故答案为：（0，＋∞）． 练习1. 函数y＝|x|﹣1的减区间为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，＋∞） D．（﹣1，＋∞） 【答案】A 【解析】由题意y＝x﹣1是一次函数，将图象右边翻折到左边，去掉原来左边图形可得y＝|x|﹣1图象．由图象可知：函数y＝|x|﹣1的减区间为（﹣∞，0）， 故选A． 练习2. 函数y＝|x﹣1|的递增区间是　 　． 【答案】[1，＋∞） 【解析】函数y＝|x﹣1|的图象如图所示： 数形结合可得函数的增区间为[1，＋∞）， 故答案为：[1，＋∞）． 考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 函数单调性的证明 1.利用定义证明单调性的步骤 （1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且 （2）作差： （3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式. （4）判断符号 （5）结论 2函数单调性的常见结论 （1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反； （2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性； （3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同； 当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反； （4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性； （5）若，函数与具有相同的单调性； （6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性； （7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性； 例3. 函数f（x）＝4﹣在（0，＋∞）上为　 　函数（填“增”或“减”） 【答案】增 【解析】任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝4﹣﹣4＋＝． 因为x1，x2∈